Номер 25.5, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle B = 60^\circ$, катет $BC$ равен 4 см. Найдите длину гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ нам даны угол $\angle B = 60^\circ$ и катет $BC = 4$ см. Катет — это сторона, прилежащая к прямому углу. Поскольку $BC$ — катет, то прямой угол — это $\angle C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Сторона $AB$, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой. Необходимо найти ее длину.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через определение косинуса

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle B$ прилежащим катетом является $BC$, а гипотенузой — $AB$.

Запишем соотношение:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения: $\angle B = 60^\circ$ и $BC = 4$ см.

$\cos(60^\circ) = \frac{4}{AB}$

Значение $\cos(60^\circ)$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$. Подставим его в уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{4}{AB}$

Из этого уравнения выражаем длину гипотенузы $AB$:

$AB = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Способ 2: Через свойство угла в 30°

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину второго острого угла $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике есть свойство: катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике напротив угла $\angle A = 30^\circ$ лежит катет $BC$.

Следовательно, справедливо равенство: $BC = \frac{1}{2} AB$.

Подставим известную длину катета $BC = 4$ см в это равенство:

$4 = \frac{1}{2} AB$

Теперь найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 8 см.