Номер 25.11, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.11. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 20$ см, $BK$ — высота, $\angle ABC = 60^\circ$. Найдите $AC$ и градусную меру угла $BCK$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 20$ см, он является равнобедренным с основанием $AC$. Углы при основании такого треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$. Зная, что угол при вершине $\angle ABC = 60^\circ$, можем вычислить углы при основании:

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Так как все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, он является не просто равнобедренным, а равносторонним.

AC

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, длина стороны $AC$ равна длинам сторон $AB$ и $BC$.

$AC = AB = BC = 20$ см.

Ответ: $AC = 20$ см.

градусная мера угла BCK

Высота $BK$ проведена из вершины $B$ к стороне $AC$, поэтому точка $K$ лежит на стороне $AC$. Это означает, что угол $BCK$ — это тот же угол, что и угол $BCA$.

Как было найдено ранее, $\angle BCA = 60^\circ$.

Таким образом, $\angle BCK = 60^\circ$.

Для проверки: В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $BK$, проведенная к основанию, также является и биссектрисой угла $\angle ABC$. Следовательно, $\angle KBC = \angle ABC / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $BKC$ ($\angle BKC = 90^\circ$), сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCK = 90^\circ - \angle KBC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.