Номер 25.10, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.10. В треугольнике $ABC$ $\angle B = 90^\circ$, биссектриса $CC_1 = 16$ см, $BC_1 = 8$ см. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине $A$.

Рассмотрим треугольник $BCC_1$. По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle B = 90^\circ$, следовательно, треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике известны длина катета $BC_1$ и длина гипотенузы $CC_1$.

В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ катет $BC_1$, противолежащий углу $\angle BCC_1$, равен 8 см, а гипотенуза $CC_1$ равна 16 см. Найдем синус угла $\angle BCC_1$ по определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$$ \sin(\angle BCC_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC_1}{CC_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle BCC_1 = 30^\circ$.

По условию, отрезок $CC_1$ является биссектрисой угла $\angle C$ треугольника $ABC$. Следовательно, он делит этот угол на два равных угла:

$$ \angle C = 2 \cdot \angle BCC_1 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла: $\angle B = 90^\circ$ (по условию) и $\angle C = 60^\circ$ (найдено выше). Найдем угол $\angle A$:

$$ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $$

Внешний угол при вершине $A$ смежен с внутренним углом $\angle A$, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Найдем градусную меру внешнего угла при вершине $A$:

$$ \text{Внешний угол при A} = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $$

Ответ: $150^\circ$.