Номер 26.3, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.3. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 30^\circ$, $AC = 10$ см, $BC = 8$ см. Через вершину $A$ проведена прямая $a$, параллельная $BC$. Найдите расстояние:

а) от точки $B$ до прямой $AC$;

б) между прямыми $a$ и $BC$.

а) от точки В до прямой АС;

Расстояние от точки B до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AC. Обозначим этот перпендикуляр BH, где H — основание перпендикуляра, лежащее на прямой AC. Таким образом, треугольник BHC является прямоугольным, так как $\angle BHC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике BHC нам известна гипотенуза BC и угол C: $BC = 8$ см и $\angle C = 30^\circ$.

Катет BH является противолежащим к углу C. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Следовательно, $BH = \frac{1}{2} \cdot BC$.

Подставляя известное значение BC, получаем:

$BH = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Alternatively, используя определение синуса в прямоугольном треугольнике BHC:

$\sin(\angle C) = \frac{BH}{BC}$

Отсюда $BH = BC \cdot \sin(\angle C) = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

б) между прямыми а и ВС.

По условию задачи, прямая а проходит через вершину A и параллельна прямой, содержащей сторону BC ($a \parallel BC$).

Расстояние между двумя параллельными прямыми является постоянной величиной и равно длине любого перпендикуляра, проведенного от одной прямой к другой. Так как точка A лежит на прямой а, то искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC.

Обозначим этот перпендикуляр AK, где K — основание перпендикуляра на прямой BC. Тогда треугольник AKC является прямоугольным, так как $\angle AKC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике AKC нам известна гипотенуза AC и угол C: $AC = 10$ см и $\angle C = 30^\circ$.

Катет AK является противолежащим к углу C. Его длина равна половине гипотенузы AC.

$AK = \frac{1}{2} \cdot AC$.

Подставляя известное значение AC, получаем:

$AK = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике AKC:

$\sin(\angle C) = \frac{AK}{AC}$

Отсюда $AK = AC \cdot \sin(\angle C) = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.