Номер 26.6, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.6. Точка $C$ — середина отрезка $AB$. Через точки $C$ и $B$ проведены параллельные прямые $c$ и $b$ соответственно так, что прямые $AB$ и $b$ не являются взаимно перпендикулярными. Докажите, что:

а) расстояние от точки $A$ до прямой $c$ равно расстоянию от точки $C$ до прямой $b$;

б) расстояние от точки $A$ до прямой $b$ вдвое больше расстояния между прямыми $b$ и $c$.

a) расстояние от точки А до прямой с равно расстоянию от точки С до прямой b

Для доказательства проведем через точку $A$ прямую $a$, параллельную прямым $c$ и $b$. Таким образом, мы получаем три параллельные прямые: $a \parallel c \parallel b$.

Прямая, на которой лежит отрезок $AB$, является секущей для этих трех параллельных прямых. По условию задачи, точка $C$ — середина отрезка $AB$, из чего следует, что отрезки, которые параллельные прямые отсекают на этой секущей, равны: $AC = CB$.

Применим теорему Фалеса, которая гласит: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Проведем прямую $p$, перпендикулярную прямым $a, c$ и $b$. Пусть точки пересечения прямой $p$ с прямыми $a, c$ и $b$ будут $P_a, P_c$ и $P_b$ соответственно. Прямая $p$ является второй секущей для наших параллельных прямых. Согласно теореме Фалеса, так как $AC = CB$, то отрезки, отсекаемые на прямой $p$, также будут равны: $P_aP_c = P_cP_b$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $c$ по определению равно расстоянию между параллельными прямыми $a$ и $c$ (поскольку $A \in a$). Это расстояние равно длине перпендикуляра $P_aP_c$. Следовательно, расстояние от $A$ до $c$ есть $P_aP_c$.

Аналогично, расстояние от точки $C$ до прямой $b$ — это расстояние между параллельными прямыми $c$ и $b$ (поскольку $C \in c$). Это расстояние равно длине перпендикуляра $P_cP_b$. Следовательно, расстояние от $C$ до $b$ есть $P_cP_b$.

Поскольку мы установили, что $P_aP_c = P_cP_b$, это означает, что расстояние от точки $A$ до прямой $c$ равно расстоянию от точки $C$ до прямой $b$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

б) расстояние от точки А до прямой b вдвое больше расстояния между прямыми b и c

Воспользуемся построениями и результатами из пункта а). Мы имеем три параллельные прямые $a, c, b$, и мы доказали, что расстояние между прямой $a$ и прямой $c$ равно расстоянию между прямой $c$ и прямой $b$. Обозначим это расстояние как $h$: $d(a, c) = d(c, b) = h$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $b$ — это расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$, так как точка $A$ лежит на прямой $a$.

Поскольку точка $C$ является серединой отрезка $AB$, прямая $c$ (проходящая через $C$) расположена между прямыми $a$ (проходящей через $A$) и $b$ (проходящей через $B$). Поэтому расстояние между крайними прямыми $a$ и $b$ равно сумме расстояний между $a$ и $c$ и между $c$ и $b$. $d(A, b) = d(a, b) = d(a, c) + d(c, b) = h + h = 2h$.

Расстояние между прямыми $b$ и $c$ по определению равно $h$.

Сравнивая полученные величины, мы видим, что расстояние от точки $A$ до прямой $b$ ($2h$) ровно в два раза больше, чем расстояние между прямыми $b$ и $c$ ($h$). $d(A, b) = 2 \cdot d(b, c)$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.