Номер 26.2, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.2. Точка $O$ — середина отрезка $AB$. Через точки $A$, $O$ и $B$ проведены параллельные прямые $a$, $b$ и $c$ соответственно так, что прямые $AB$ и $a$ не являются взаимно перпендикулярными. Докажите, что расстояние от прямой $a$ до прямой $c$ в два раза больше расстояния от прямой $b$ до прямой $c$.

Для доказательства утверждения введем следующие обозначения: пусть $d(a, c)$ — это расстояние от прямой $a$ до прямой $c$, а $d(b, c)$ — это расстояние от прямой $b$ до прямой $c$. Согласно условию задачи, нам необходимо доказать, что $d(a, c) = 2 \cdot d(b, c)$.

Проведем прямую $m$, которая перпендикулярна прямым $a$, $b$ и $c$. Поскольку прямые $a, b, c$ параллельны по условию ($a \parallel b \parallel c$), то такая общая перпендикулярная прямая существует. Обозначим точки пересечения прямой $m$ с прямыми $a, b, c$ как $A'$, $O'$ и $B'$ соответственно.

По определению, расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Следовательно, $d(a, c)$ равно длине отрезка $A'B'$, а $d(b, c)$ равно длине отрезка $O'B'$. Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства $A'B' = 2 \cdot O'B'$.

Теперь рассмотрим три параллельные прямые $a, b, c$ и две секущие, которые их пересекают: прямую, содержащую отрезок $AB$, и построенную нами перпендикулярную прямую $m$.

Согласно обобщенной теореме Фалеса (также известной как теорема о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. В нашем случае это означает, что отношение отрезков на одной секущей ($AB$) равно отношению соответствующих отрезков на другой секущей ($m$): $$ \frac{AO}{OB} = \frac{A'O'}{O'B'} $$

По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, что означает $AO = OB$. Следовательно, отношение $\frac{AO}{OB} = 1$.

Подставив это значение в выведенное нами соотношение, получаем: $$ \frac{A'O'}{O'B'} = 1 $$ Из этого равенства следует, что длины отрезков $A'O'$ и $O'B'$ равны: $A'O' = O'B'$.

Поскольку точка $O$ находится на отрезке $AB$, то прямая $b$, проходящая через $O$, расположена между прямыми $a$ и $c$. Это означает, что точка $O'$ лежит на отрезке $A'B'$. Поэтому длина всего отрезка $A'B'$ равна сумме длин его частей: $$ A'B' = A'O' + O'B' $$

Теперь заменим в этом выражении отрезок $A'O'$ на равный ему отрезок $O'B'$: $$ A'B' = O'B' + O'B' = 2 \cdot O'B' $$

Так как мы установили, что $A'B' = d(a, c)$ и $O'B' = d(b, c)$, мы можем заключить, что $d(a, c) = 2 \cdot d(b, c)$. Утверждение доказано.

Ответ: Расстояние от прямой $a$ до прямой $c$ в два раза больше расстояния от прямой $b$ до прямой $c$.