Номер 25.14, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.14*. В треугольнике $ABC$ $\angle B = 90^\circ$, $BD$ — высота, $AB = 2BD$.

Докажите, что $3AC = 4AD$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. $BD$ — высота, опущенная на гипотенузу $AC$, следовательно, $BD \perp AC$. Также по условию дано соотношение $AB = 2BD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. Так как $BD$ является высотой, $\angle BDA = 90^\circ$. Катетами этого треугольника являются $AD$ и $BD$, а гипотенузой — $AB$. По теореме Пифагора для треугольника $ADB$ имеем:

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

2. Из условия задачи известно, что $AB = 2BD$. Выразим $BD$ через $AB$: $BD = \frac{AB}{2}$. Подставим это выражение в уравнение теоремы Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2$

$AB^2 = AD^2 + \frac{AB^2}{4}$

3. Преобразуем полученное равенство, чтобы выразить $AB^2$ через $AD^2$:

$AB^2 - \frac{AB^2}{4} = AD^2$

$\frac{3AB^2}{4} = AD^2$

$AB^2 = \frac{4AD^2}{3}$

4. Теперь воспользуемся свойством прямоугольного треугольника $ABC$ (метрические соотношения). Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AD$. Следовательно:

$AB^2 = AC \cdot AD$

5. Мы получили два выражения для $AB^2$. Приравняем их правые части:

$AC \cdot AD = \frac{4AD^2}{3}$

6. Так как $D$ является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла в остроугольном треугольнике (если бы он был тупоугольным в A или C, высота была бы вне), $AD$ является длиной отрезка и не равно нулю ($AD > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $AD$:

$AC = \frac{4AD}{3}$

7. Умножим обе части равенства на 3, чтобы получить итоговое соотношение:

$3AC = 4AD$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Равенство $3AC = 4AD$ доказано.