Номер 25.8, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.8. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^{\circ}$, внешний угол при вершине $B$ равен $150^{\circ}$, биссектриса $AA_1 = 20$ см. Найдите $A_1C$.

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$.

Внешний угол при вершине $B$ и внутренний угол $\angle ABC$ являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$. Зная, что внешний угол равен $150^\circ$, мы можем найти внутренний угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Используя это свойство для треугольника $ABC$, найдем величину угла $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle C - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В задаче сказано, что $AA_1$ — это биссектриса угла $\angle BAC$, а ее длина $AA_1 = 20$ см. Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, угол $\angle CAA_1$ будет равен половине угла $\angle BAC$:

$\angle CAA_1 = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. Угол $\angle A_1CA$ в нем равен $90^\circ$. Мы нашли, что угол $\angle CAA_1 = 30^\circ$. Гипотенузой в этом треугольнике является отрезок $AA_1$, а искомый отрезок $A_1C$ — это катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Применим это свойство:

$A_1C = \frac{1}{2} \times AA_1$

Подставим известное значение длины гипотенузы $AA_1$:

$A_1C = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ см.

Ответ: 10 см.