Номер 25.9, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.9. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AB = 2BC$. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$ и гипотенуза $AB$ вдвое больше катета $BC$, то есть $AB = 2BC$.

Для нахождения углов треугольника воспользуемся определением синуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ противолежащим катетом является сторона $BC$.
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Подставим в эту формулу заданное соотношение $AB = 2BC$:
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{2BC} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$. Следовательно, $\angle A = 30^\circ$.
Также можно вспомнить свойство прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Так как $BC = \frac{1}{2}AB$, то угол, лежащий против катета $BC$, то есть $\angle A$, равен $30^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла в треугольнике $ABC$, мы можем найти третий, $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Внешний угол при вершине $B$ является смежным с внутренним углом $\angle B$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим искомый внешний угол как $\angle B_{внеш}$.
$\angle B_{внеш} = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Альтернативный способ: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
$\angle B_{внеш} = \angle A + \angle C = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.