Номер 25.13, страница 50 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.13. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD$ — высота, $BC = 2BD$.

Докажите, что $AD = 3DB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и $CD$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$. Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике существуют метрические соотношения. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ и его проекции $DB$ на гипотенузу $AB$ это соотношение записывается следующей формулой: $BC^2 = AB \cdot DB$

Согласно условию задачи, нам дано, что $BC = 2 \cdot BD$. Подставим это выражение в приведенную выше формулу: $(2 \cdot BD)^2 = AB \cdot DB$

Упростим полученное уравнение, возведя в квадрат левую часть: $4 \cdot BD^2 = AB \cdot DB$

Так как $BD$ — это длина отрезка, она не может быть равна нулю ($BD > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $BD$: $4 \cdot BD = AB$

Гипотенуза $AB$ состоит из двух отрезков, $AD$ и $DB$. Таким образом, ее длина равна их сумме: $AB = AD + DB$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для длины гипотенузы $AB$: $AD + DB = 4 \cdot BD$

Чтобы найти соотношение между $AD$ и $DB$, выразим $AD$ из этого равенства: $AD = 4 \cdot BD - DB$ $AD = 3 \cdot DB$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Утверждение $AD = 3DB$ доказано.