Номер 26.4, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.4. В треугольнике ABC $AC = 30$ см. Расстояние от точки B до прямой $AC$ равно $\frac{1}{2}BC$. Через точку A проведена прямая $a$, параллельная $BC$. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $BC$.

Пусть $h_b$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AC$, то есть длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. По условию задачи дано, что $AC = 30$ см и $h_b = \frac{1}{2}BC$.

Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$

Подставим в эту формулу известные значения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (\frac{1}{2}BC) = 15 \cdot \frac{1}{2}BC = 7.5 \cdot BC$

Теперь рассмотрим искомое расстояние. Нам нужно найти расстояние между прямой $a$, которая проходит через точку $A$ и параллельна $BC$, и самой прямой $BC$.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой. Так как прямая $a$ проходит через точку $A$, искомое расстояние равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$. Это расстояние является высотой треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Обозначим эту высоту как $h_a$.

Площадь треугольника $ABC$ также можно выразить через основание $BC$ и высоту $h_a$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для площади треугольника $ABC$: $7.5 \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a$

Так как $BC$ — это длина стороны треугольника, $BC \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $BC$: $7.5 = \frac{1}{2} \cdot h_a$

Отсюда находим $h_a$: $h_a = 7.5 \cdot 2 = 15$ см.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми $a$ и $BC$ равно 15 см.

Ответ: 15 см.