Номер 26.7, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.7. В треугольнике ABC $\angle A = 70^\circ, \angle B = 80^\circ$. Через точку $E$, лежащую на прямой $AC$ так, что $EC = 14 \text{ см}$, проведена прямая $a$, параллельная $BC$. Найдите расстояние между прямыми $a$ и $BC$.

Сначала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

Подставив известные значения, получим:

$\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ$

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной прямой к другой прямой. В нашем случае нужно найти расстояние между прямой $BC$ и параллельной ей прямой $a$.

По условию, прямая $a$ проходит через точку $E$. Проведем из точки $E$ перпендикуляр $EH$ к прямой $BC$. Длина отрезка $EH$ и будет искомым расстоянием.

Рассмотрим получившийся треугольник $EHC$. Поскольку $EH$ является перпендикуляром к прямой $BC$, угол $\angle EHC$ — прямой, следовательно, треугольник $EHC$ — прямоугольный.

В этом прямоугольном треугольнике:

- $EC$ является гипотенузой, и ее длина по условию равна $14$ см.

- Угол $\angle ECH$ — это угол между прямой $AC$ (на которой лежит точка $E$) и прямой $BC$. Этот угол совпадает с углом $C$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle ECH = \angle C = 30^\circ$.

- $EH$ — это катет, противолежащий углу $\angle ECH$.

Для нахождения длины катета $EH$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ECH) = \frac{EH}{EC}$

Выразим отсюда $EH$:

$EH = EC \cdot \sin(\angle ECH)$

Подставим известные значения:

$EH = 14 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, вычисляем:

$EH = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см.