Номер 26.5, страница 51 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

26.5. Через концы $A$ и $B$ отрезка $AB$ проведены параллельные прямые $a$ и $b$ соответственно. Прямые $AB$ и $b$ не являются взаимно перпендикулярными. $C$ — середина отрезка $AB$. Докажите, что:

а) точка $C$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $a$ и $b$;

б) сумма расстояний от точки $C$ до прямых $a$ и $b$ равна расстоянию между этими прямыми.

а) точка C находится на одинаковом расстоянии от прямых a и b;

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом конгруэнтных треугольников.

1. Выполним дополнительные построения. Из точки $A$, лежащей на прямой $a$, опустим перпендикуляр $AD$ на прямую $b$ (точка $D$ лежит на $b$). Из точки $B$, лежащей на прямой $b$, опустим перпендикуляр $BE$ на прямую $a$ (точка $E$ лежит на $a$).

2. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), а отрезки $AD$ и $BE$ перпендикулярны им, то $AD \parallel BE$ и длины этих отрезков равны расстоянию между прямыми. Следовательно, четырехугольник $AEBD$ является прямоугольником.

3. Диагонали прямоугольника ($AB$ и $ED$) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. По условию задачи, точка $C$ — середина диагонали $AB$. Это означает, что точка $C$ является точкой пересечения диагоналей и, следовательно, $C$ также является серединой диагонали $ED$.

4. Из того, что $C$ — середина $ED$, следует равенство отрезков: $CE = CD$.

5. Теперь докажем равенство расстояний от точки $C$ до прямых $a$ и $b$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим перпендикуляр $CH$ из точки $C$ на прямую $a$ (которая содержит отрезок $AE$) и перпендикуляр $CK$ из точки $C$ на прямую $b$ (которая содержит отрезок $BD$).

6. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle CEH$ и $\triangle CDK$.

• Гипотенузы этих треугольников равны: $CE = CD$, как было доказано в пункте 4.
• Углы $\angle CHE$ и $\angle CKD$ являются прямыми ($90^\circ$) по построению перпендикуляров $CH$ и $CK$.
• Стороны прямоугольника $AE$ и $BD$ параллельны. Прямая $ED$ является для них секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle AED$ и $\angle BDE$ равны. Угол $\angle CEH$ совпадает с углом $\angle AED$, а угол $\angle CDK$ совпадает с углом $\angle BDE$. Таким образом, $\angle CEH = \angle CDK$.

7. Прямоугольные треугольники $\triangle CEH$ и $\triangle CDK$ равны по гипотенузе и острому углу.

8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов: $CH = CK$.

Так как $CH$ и $CK$ — это расстояния от точки $C$ до прямых $a$ и $b$ соответственно, то мы доказали, что точка $C$ находится на одинаковом расстоянии от этих прямых. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: точка C находится на одинаковом расстоянии от прямых a и b.

б) сумма расстояний от точки C до прямых a и b равна расстоянию между этими прямыми.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определениями расстояний.

1. Обозначим расстояние от точки $C$ до прямой $a$ как $d(C, a)$, расстояние от точки $C$ до прямой $b$ как $d(C, b)$, а расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ как $d(a, b)$.

2. Проведем через точку $C$ прямую $p$, перпендикулярную прямым $a$ и $b$.

3. Пусть прямая $p$ пересекает прямую $a$ в точке $H$ и прямую $b$ в точке $K$.

4. По определению расстояния от точки до прямой, имеем: $d(C, a) = CH$ и $d(C, b) = CK$.

5. По определению расстояния между параллельными прямыми, длина общего перпендикуляра между ними равна этому расстоянию: $d(a, b) = HK$.

6. По условию, точка $A$ лежит на прямой $a$, а точка $B$ — на прямой $b$. Точка $C$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, $C$ расположена в полосе между параллельными прямыми $a$ и $b$.

7. Поскольку точки $H$, $C$, $K$ лежат на одной прямой $p$, и точка $C$ находится между точками $H$ и $K$, то длина отрезка $HK$ равна сумме длин отрезков $CH$ и $CK$: $HK = CH + CK$.

8. Подставив в это равенство введенные обозначения для расстояний, получаем: $d(a, b) = d(C, a) + d(C, b)$.

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от точки $C$ до прямых $a$ и $b$ равна расстоянию между этими прямыми. Что и требовалось доказать.
(Примечание: из пункта а) следует, что $d(C, a) = d(C, b)$, поэтому каждое из этих расстояний равно половине расстояния между прямыми $a$ и $b$: $d(C, a) = d(C, b) = \frac{1}{2}d(a, b)$).

Ответ: Утверждение доказано: сумма расстояний от точки C до прямых a и b равна расстоянию между этими прямыми.