Номер 25.2, страница 49 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

25.2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 90^\circ$, $\angle BCA = 2 \angle ABC$. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$, если $BC + AC = 18$ см.

Дано: прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому сумма двух острых углов $\angle ABC$ и $\angle BCA$ составляет:
$\angle ABC + \angle BCA = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

По условию задачи, $\angle BCA = 2\angle ABC$. Пусть $\angle ABC = x$, тогда $\angle BCA = 2x$. Подставим эти обозначения в уравнение суммы острых углов:
$x + 2x = 90^\circ$
$3x = 90^\circ$
$x = 30^\circ$

Таким образом, мы нашли величины острых углов треугольника:
$\angle ABC = 30^\circ$
$\angle BCA = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем треугольнике $ABC$ катет $AC$ лежит напротив угла $\angle ABC = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $BC$ (лежащая напротив прямого угла $\angle BAC$).
Следовательно, справедливо соотношение: $AC = \frac{1}{2} BC$, что равносильно $BC = 2AC$.

Из условия задачи также известно, что $BC + AC = 18$ см. Заменим в этом выражении $BC$ на $2AC$:
$2AC + AC = 18$
$3AC = 18$
$AC = \frac{18}{3} = 6$ см.

Теперь, зная длину катета $AC$, найдем длину гипотенузы $BC$:
$BC = 2AC = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: $AC = 6$ см, $BC = 12$ см.