Номер 23.4, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.4. Катеты одного треугольника меньше соответствующих катетов другого треугольника. Докажите, что гипотенуза первого треугольника меньше гипотенузы второго треугольника.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Обозначим катеты первого треугольника как $a_1$ и $b_1$, а его гипотенузу — $c_1$. Соответственно, катеты второго треугольника обозначим как $a_2$ и $b_2$, а его гипотенузу — $c_2$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Запишем это для обоих треугольников:

Для первого треугольника: $c_1^2 = a_1^2 + b_1^2$
Для второго треугольника: $c_2^2 = a_2^2 + b_2^2$

По условию задачи, катеты первого треугольника меньше соответствующих катетов второго. Это можно записать в виде системы неравенств:
$a_1 < a_2$
$b_1 < b_2$

Поскольку длины сторон треугольника являются положительными числами ($a_1, a_2, b_1, b_2 > 0$), мы можем возвести оба неравенства в квадрат. Знак неравенств при этом не изменится:
$a_1^2 < a_2^2$
$b_1^2 < b_2^2$

Теперь сложим эти два верных неравенства:
$a_1^2 + b_1^2 < a_2^2 + b_2^2$

Заменим суммы квадратов катетов на квадраты гипотенуз, используя равенства, полученные из теоремы Пифагора:
$c_1^2 < c_2^2$

Так как длины гипотенуз $c_1$ и $c_2$ также являются положительными величинами, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей последнего неравенства. Знак неравенства при этом сохранится:
$\sqrt{c_1^2} < \sqrt{c_2^2}$
$c_1 < c_2$

Таким образом, мы доказали, что гипотенуза первого треугольника меньше гипотенузы второго, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.