Номер 22.8, страница 46 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.8* Вне равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $E$, а внутри него — точка $M$. Докажите, что $MA < BE + EC$.

Для доказательства воспользуемся свойством выпуклых функций и неравенством треугольника.

1. Оценим длину отрезка MA

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. То есть, $AB = BC = CA = a$. Рассмотрим функцию $f(P) = PA$, которая представляет собой расстояние от точки $P$ до фиксированной вершины $A$. Эта функция является выпуклой.

Известно, что выпуклая функция, определенная на компактном выпуклом множестве (каким является треугольник $ABC$), достигает своего максимального значения в одной из вершин этого множества.

Вычислим значения функции $f(P)$ в вершинах треугольника $ABC$:

• $f(A) = AA = 0$
• $f(B) = BA = a$
• $f(C) = CA = a$

Максимальное значение функции $f(P)$ на треугольнике $ABC$ равно $a$. Поскольку точка $M$ находится строго внутри треугольника $ABC$, она не совпадает с вершинами $B$ или $C$. Следовательно, расстояние $MA$ строго меньше максимального значения.

Таким образом, мы получаем неравенство: $$MA < a$$

2. Оценим сумму длин BE + EC

Рассмотрим точки $B, E, C$. Эти три точки образуют треугольник $BEC$ (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны: $$BE + EC \ge BC$$

Так как $BC = a$, получаем: $$BE + EC \ge a$$

Равенство в этом неравенстве достигается только в том случае, если точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Однако, по условию задачи, точка $E$ находится вне треугольника $ABC$, значит, она не может лежать на отрезке $BC$.

Следовательно, для точки $E$ неравенство является строгим: $$BE + EC > a$$

3. Завершение доказательства

Мы получили два строгих неравенства:

1. $MA < a$
2. $BE + EC > a$

Объединяя их, получаем: $$MA < a < BE + EC$$

Отсюда напрямую следует доказываемое неравенство: $$MA < BE + EC$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.