Номер 22.7, страница 46 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.7. Внутри равностороннего треугольника $ABC$ отмечена точка $E$. Докажите, что $EA > EB + EC$.

Утверждение, представленное в задаче, а именно $EA > EB + EC$, является неверным. Для любой точки $E$, находящейся внутри треугольника $ABC$, отрезки $EA, EB, EC$ формируют стороны нового треугольника (это следует из доказательства ниже), и для них должно выполняться неравенство треугольника. В частности, должно быть верно $EA < EB + EC$. Продемонстрировать неверность исходного утверждения можно на простом примере: если точка $E$ расположена очень близко к вершине $A$, то длина $EA$ будет близка к нулю, в то время как $EB$ и $EC$ будут иметь значительную положительную длину. В этом случае неравенство $EA > EB + EC$ очевидно не будет выполняться.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Ниже приведено доказательство для правильного неравенства: $EA < EB + EC$.

Доказательство неравенства $EA < EB + EC$

Для доказательства используем метод поворота.

1. Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ и произвольную точку $E$ внутри него.

2. Совершим поворот плоскости на угол $60^\circ$ вокруг вершины $B$ таким образом, чтобы вершина $C$ перешла в вершину $A$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $BC = BA$ и $\angle ABC = 60^\circ$, такой поворот существует. Пусть при этом повороте точка $E$ переходит в новую точку $E'$.

3. Так как поворот является движением, он сохраняет расстояния между точками. Следовательно, мы имеем следующие равенства длин отрезков:

$CE = AE'$

$BE = BE'$

4. Рассмотрим треугольник $EBE'$. По построению, две его стороны $BE$ и $BE'$ равны, а угол между ними $\angle EBE'$ равен углу поворота, то есть $60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Значит, все его стороны равны:

$EE' = BE = BE'$

5. Теперь рассмотрим треугольник $AEE'$. Его стороны — это отрезки $AE$, $EE'$ и $AE'$. Поскольку точка $E$ находится внутри треугольника $ABC$, точки $A, E, E'$ не лежат на одной прямой, следовательно, треугольник $AEE'$ невырожденный.

6. Для всякого невырожденного треугольника справедливо неравенство треугольника: длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон. Применим это свойство к стороне $AE$ треугольника $AEE'$:

$AE < EE' + AE'$

7. Используя равенства, полученные в пунктах 3 и 4, заменим отрезки $EE'$ и $AE'$ в неравенстве:

$EE' = EB$

$AE' = EC$

Подставив их в неравенство из пункта 6, получаем:

$EA < EB + EC$

Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение в условии задачи неверно. Для любой точки $E$, расположенной внутри равностороннего треугольника $ABC$, выполняется неравенство $EA < EB + EC$, что и было доказано.