Номер 22.9, страница 46 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22.9* Докажите, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $m_a = AM_a$ и $m_b = BM_b$ к сторонам $BC=a$ и $AC=b$ соответственно. Требуется доказать, что $m_a + m_b > \frac{a+b}{2}$.

Доказательство:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (назовем ее $O$), которая называется центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для медиан $AM_a$ и $BM_b$ имеем:
$AO = \frac{2}{3}m_a$ и $OM_a = \frac{1}{3}m_a$
$BO = \frac{2}{3}m_b$ и $OM_b = \frac{1}{3}m_b$

2. Рассмотрим треугольник $AOM_b$. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны. Применим это свойство к $\triangle AOM_b$:
$AO + OM_b > AM_b$
По определению медианы, $M_b$ является серединой стороны $AC$, поэтому $AM_b = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$. Подставим известные длины отрезков в неравенство:
$\frac{2}{3}m_a + \frac{1}{3}m_b > \frac{b}{2}$ (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $BOM_a$. Аналогично применим неравенство треугольника:
$BO + OM_a > BM_a$
Точка $M_a$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM_a = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$. Подставим длины отрезков в это неравенство:
$\frac{2}{3}m_b + \frac{1}{3}m_a > \frac{a}{2}$ (2)

4. Сложим полученные неравенства (1) и (2):
$(\frac{2}{3}m_a + \frac{1}{3}m_b) + (\frac{1}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b) > \frac{b}{2} + \frac{a}{2}$

5. Сгруппируем подобные слагаемые в левой части неравенства:
$(\frac{2}{3} + \frac{1}{3})m_a + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})m_b > \frac{a+b}{2}$

6. Упростим выражение:
$1 \cdot m_a + 1 \cdot m_b > \frac{a+b}{2}$
$m_a + m_b > \frac{a+b}{2}$

Таким образом, мы доказали, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы двух сторон, к которым эти медианы проведены.

Ответ: Утверждение доказано.