Номер 23.6, страница 47 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.6. Два прямоугольных треугольника $ABC$ и $ABD$ имеют общую гипотенузу $AB$ и лежат по разные стороны от нее. Известно, что $AD = BC$. Докажите, что $\angle CAB = \angle DBA$.

Рис. 101

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$.

По условию задачи дано, что треугольники $ABC$ и $ABD$ являются прямоугольными и имеют общую гипотенузу $AB$. Это означает, что углы, противолежащие гипотенузе, являются прямыми:

$\angle ACB = 90^\circ$

$\angle ADB = 90^\circ$

Для доказательства равенства углов $\angle CAB$ и $\angle DBA$ сравним треугольники, в которые они входят, то есть $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$.

Эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету):

1. $AB$ — общая гипотенуза.
2. $BC = AD$ — равные катеты (согласно условию).

Так как $\triangle ABC = \triangle BAD$, то их соответствующие элементы равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $\triangle ABC$ напротив катета $BC$ лежит угол $\angle CAB$.

В треугольнике $\triangle BAD$ напротив катета $AD$ лежит угол $\angle DBA$.

Поскольку катеты $BC$ и $AD$ равны ($BC = AD$), то и противолежащие им углы также равны:

$\angle CAB = \angle DBA$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CAB = \angle DBA$ доказано на основании равенства прямоугольных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle BAD$ по гипотенузе и катету.