Номер 1.179, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.179. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 - 10a + 25;$

б) $9x^4 + 6x^2 + 1;$

в) $4m^2 - 20mn + 25n^2;$

г) $0,01a^6 + 0,4a^3 + 4.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата двучлена:

• Квадрат суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Наша задача — для каждого трехчлена найти такие выражения A и B, чтобы трехчлен соответствовал одной из этих формул.

а) $a^2 - 10a + 25$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Предположим, что $A^2 = a^2$, тогда $A = a$.
Предположим, что $B^2 = 25$, тогда $B = 5$.
Теперь проверим, совпадает ли средний член $-10a$ с выражением $-2AB$.
$-2AB = -2 \cdot a \cdot 5 = -10a$.
Все члены совпадают. Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата разности $(a - 5)$.
$a^2 - 10a + 25 = (a)^2 - 2(a)(5) + (5)^2 = (a - 5)^2$.
Ответ: $(a - 5)^2$.

б) $9x^4 + 6x^2 + 1$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Предположим, что $A^2 = 9x^4 = (3x^2)^2$, тогда $A = 3x^2$.
Предположим, что $B^2 = 1 = 1^2$, тогда $B = 1$.
Теперь проверим, совпадает ли средний член $6x^2$ с выражением $2AB$.
$2AB = 2 \cdot (3x^2) \cdot 1 = 6x^2$.
Все члены совпадают. Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата суммы $(3x^2 + 1)$.
$9x^4 + 6x^2 + 1 = (3x^2)^2 + 2(3x^2)(1) + (1)^2 = (3x^2 + 1)^2$.
Ответ: $(3x^2 + 1)^2$.

в) $4m^2 - 20mn + 25n^2$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Предположим, что $A^2 = 4m^2 = (2m)^2$, тогда $A = 2m$.
Предположим, что $B^2 = 25n^2 = (5n)^2$, тогда $B = 5n$.
Теперь проверим, совпадает ли средний член $-20mn$ с выражением $-2AB$.
$-2AB = -2 \cdot (2m) \cdot (5n) = -20mn$.
Все члены совпадают. Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата разности $(2m - 5n)$.
$4m^2 - 20mn + 25n^2 = (2m)^2 - 2(2m)(5n) + (5n)^2 = (2m - 5n)^2$.
Ответ: $(2m - 5n)^2$.

г) $0,01a^6 + 0,4a^3 + 4$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Предположим, что $A^2 = 0,01a^6 = (0,1a^3)^2$, тогда $A = 0,1a^3$.
Предположим, что $B^2 = 4 = 2^2$, тогда $B = 2$.
Теперь проверим, совпадает ли средний член $0,4a^3$ с выражением $2AB$.
$2AB = 2 \cdot (0,1a^3) \cdot 2 = 0,4a^3$.
Все члены совпадают. Следовательно, данный трехчлен можно представить в виде квадрата суммы $(0,1a^3 + 2)$.
$0,01a^6 + 0,4a^3 + 4 = (0,1a^3)^2 + 2(0,1a^3)(2) + (2)^2 = (0,1a^3 + 2)^2$.
Ответ: $(0,1a^3 + 2)^2$.