Номер 1.173, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.173. Постройте график функции:

a) $y=\sqrt{(x-2)^2}$ при $x \ge 2$;

б) $y=\sqrt{x^2+6x+9}$ при $x \le -3$.

а) Постройте график функции $y = \sqrt{(x-2)^2}$ при $x \ge 2$.

Для построения графика сначала упростим данное выражение. Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашей функции, получаем: $y = |x-2|$

Теперь необходимо раскрыть модуль, учитывая заданное условие $x \ge 2$. Если $x \ge 2$, то выражение под знаком модуля $x-2$ является неотрицательным, то есть $x-2 \ge 0$. По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то $|x-2| = x-2$.

Таким образом, для $x \ge 2$ исходная функция принимает вид: $y = x-2$

Это уравнение является уравнением прямой. Однако, из-за ограничения $x \ge 2$, графиком будет не вся прямая, а только её часть — луч, начинающийся в точке, где $x=2$.

Найдем координаты начальной точки луча (вершины): При $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Следовательно, начальная точка луча — $(2, 0)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, выбрав любое значение $x > 2$, например, $x=4$: При $x=4$, $y = 4 - 2 = 2$. Вторая точка на луче — $(4, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.

б) Постройте график функции $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9}$ при $x \le -3$.

Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом двучлена: $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$

Подставим это в исходную функцию: $y = \sqrt{(x+3)^2}$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x+3|$

Теперь раскроем модуль с учетом условия $x \le -3$. Если $x \le -3$, то выражение $x+3$ является неположительным, то есть $x+3 \le 0$. По определению модуля, если подмодульное выражение неположительно, то $|x+3| = -(x+3)$.

Таким образом, для $x \le -3$ функция принимает вид: $y = -(x+3) = -x-3$

Это уравнение прямой. С учетом ограничения $x \le -3$, графиком функции будет луч, начинающийся в точке, где $x=-3$.

Найдем координаты начальной точки луча: При $x=-3$, $y = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$. Начальная точка луча — $(-3, 0)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, выбрав любое значение $x < -3$, например, $x=-5$: При $x=-5$, $y = -(-5) - 3 = 5 - 3 = 2$. Вторая точка на луче — $(-5, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч, выходящий из точки $(-3, 0)$ и проходящий через точку $(-5, 2)$.