Номер 1.170, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.170. Упростите выражение $\sqrt{\frac{4}{25}m^4 n^{10}}$, если:

a) $n \ge 0$;

б) $n < 0$.

Объясните, почему знак значения данного выражения не зависит от знака переменной $m$.

Для начала упростим исходное выражение. Воспользуемся свойствами корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$) и $\sqrt{x^{2k}} = |x^k|$.

$\sqrt{\frac{4}{25}m^4n^{10}} = \sqrt{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt{m^4} \cdot \sqrt{n^{10}}$

Вычислим корень из каждого множителя:

• $\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$
• $\sqrt{m^4} = \sqrt{(m^2)^2} = |m^2|$. Так как $m^2$ всегда неотрицательно ($m^2 \ge 0$), то $|m^2| = m^2$.
• $\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^5)^2} = |n^5|$. Знак этого выражения зависит от знака $n$.

Собрав все вместе, получаем общее упрощенное выражение: $\frac{2}{5}m^2|n^5|$

Теперь рассмотрим два случая, заданных в условии.

а) n ≥ 0:

Если $n \ge 0$, то и $n^5 \ge 0$. По определению модуля, для любого неотрицательного числа $|x| = x$. Следовательно, $|n^5| = n^5$.

Подставим это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2}{5}m^2|n^5| = \frac{2}{5}m^2n^5$

Ответ: $\frac{2}{5}m^2n^5$.

б) n < 0:

Если $n < 0$, то $n^5 < 0$ (так как нечетная степень отрицательного числа отрицательна). По определению модуля, для любого отрицательного числа $|x| = -x$. Следовательно, $|n^5| = -n^5$.

Подставим это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2}{5}m^2|n^5| = \frac{2}{5}m^2(-n^5) = -\frac{2}{5}m^2n^5$

Ответ: $-\frac{2}{5}m^2n^5$.

Объясните, почему знак значения данного выражения не зависит от знака переменной m:

Значение исходного выражения $\sqrt{\frac{4}{25}m^4n^{10}}$ по определению арифметического квадратного корня всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю).

В процессе упрощения мы получили выражение $\frac{2}{5}m^2|n^5|$. Проанализируем знак каждого множителя в нем:

• $\frac{2}{5}$ — положительная константа.
• $m^2$ — квадрат переменной $m$. Независимо от знака $m$ (положительный, отрицательный или ноль), его квадрат $m^2$ всегда будет неотрицательным ($m^2 \ge 0$).
• $|n^5|$ — модуль выражения $n^5$. По определению, модуль любого числа всегда неотрицателен ($|n^5| \ge 0$).

Таким образом, все выражение является произведением трех неотрицательных сомножителей, и его значение всегда будет неотрицательным. Переменная $m$ входит в выражение в виде множителя $m^2$, который всегда неотрицателен и не меняет своего знака в зависимости от знака $m$. Следовательно, знак всего выражения не зависит от знака переменной $m$.