Номер 1.171, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.171. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $ \sqrt{(a - 4)^2} $ при $ a > 4; $

б) $ \sqrt{(b + 2)^2} $ при $ b < -2; $

в) $ \sqrt{(3b + 10.2)^2} + 10.2 $ при $ -3 \le b \le 3; $

г) $ \sqrt{(2a - 6.4)^2} - 2a + 3.2 $ при $ 1 \le a \le 3. $

а) Для того чтобы представить выражение $\sqrt{(a - 4)^2}$ в виде многочлена при условии $a > 4$, необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{(a - 4)^2} = |a - 4|$.
Далее нужно раскрыть модуль. Для этого определим знак выражения под модулем, используя заданное условие $a > 4$.
Если $a > 4$, то разность $a - 4$ будет положительной ($a - 4 > 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение положительно, то $|x| = x$. Следовательно:
$|a - 4| = a - 4$.
Ответ: $a - 4$.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{(b + 2)^2}$ при условии $b < -2$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(b + 2)^2} = |b + 2|$.
Теперь определим знак выражения $b + 2$, зная, что $b < -2$.
Если $b < -2$, то сумма $b + 2$ будет отрицательной ($b + 2 < 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно, то $|x| = -x$. Таким образом:
$|b + 2| = -(b + 2) = -b - 2$.
Ответ: $-b - 2$.

в) Представим в виде многочлена выражение $\sqrt{(3b + 10,2)^2} + 10,2$ при условии $-3 \le b \le 3$.
Упростим корень с помощью свойства $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(3b + 10,2)^2} = |3b + 10,2|$.
Исходное выражение принимает вид: $|3b + 10,2| + 10,2$.
Оценим знак подмодульного выражения $3b + 10,2$ в заданном интервале $-3 \le b \le 3$.
1. Умножим все части неравенства на 3: $3 \cdot (-3) \le 3b \le 3 \cdot 3 \implies -9 \le 3b \le 9$.
2. Прибавим 10,2 ко всем частям: $-9 + 10,2 \le 3b + 10,2 \le 9 + 10,2$.
3. Получим: $1,2 \le 3b + 10,2 \le 19,2$.
Так как на всем заданном отрезке выражение $3b + 10,2$ принимает только положительные значения, модуль раскрывается со знаком "плюс":
$|3b + 10,2| = 3b + 10,2$.
Подставим это в выражение и выполним сложение:
$(3b + 10,2) + 10,2 = 3b + 20,4$.
Ответ: $3b + 20,4$.

г) Представим в виде многочлена выражение $\sqrt{(2a - 6,4)^2} - 2a + 3,2$ при условии $1 \le a \le 3$.
Воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$:
$\sqrt{(2a - 6,4)^2} = |2a - 6,4|$.
Теперь выражение выглядит так: $|2a - 6,4| - 2a + 3,2$.
Оценим знак выражения $2a - 6,4$ при условии $1 \le a \le 3$.
1. Умножим неравенство на 2: $2 \cdot 1 \le 2a \le 2 \cdot 3 \implies 2 \le 2a \le 6$.
2. Вычтем 6,4 из всех частей: $2 - 6,4 \le 2a - 6,4 \le 6 - 6,4$.
3. Получим: $-4,4 \le 2a - 6,4 \le -0,4$.
На заданном отрезке выражение $2a - 6,4$ всегда отрицательно. Следовательно, модуль раскрывается со знаком "минус":
$|2a - 6,4| = -(2a - 6,4) = -2a + 6,4$.
Подставим полученное выражение и упростим:
$(-2a + 6,4) - 2a + 3,2 = -2a + 6,4 - 2a + 3,2 = -4a + 9,6$.
Ответ: $-4a + 9,6$.