Номер 1.169, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.169. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{3,6 \cdot 10^{-5}};$

б) $\sqrt{0,049 \cdot 10^{7}}.$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{3,6 \cdot 10^{-5}}$, преобразуем подкоренное выражение так, чтобы множители стали удобными для извлечения квадратного корня. В частности, сделаем степень числа 10 четной.

Представим десятичную дробь $3,6$ в виде произведения целого числа на степень десяти: $3,6 = 36 \cdot 10^{-1}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{3,6 \cdot 10^{-5}} = \sqrt{(36 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели у числа 10:

$\sqrt{36 \cdot 10^{-1-5}} = \sqrt{36 \cdot 10^{-6}}$

Теперь, используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{36} \cdot \sqrt{10^{-6}}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{36} = 6$

$\sqrt{10^{-6}} = 10^{-6/2} = 10^{-3}$

Перемножим полученные результаты:

$6 \cdot 10^{-3} = 6 \cdot 0,001 = 0,006$

Ответ: 0,006.

б) Аналогично поступим с выражением $\sqrt{0,049 \cdot 10^{7}}$. Преобразуем подкоренное выражение для удобства извлечения корня.

Представим $0,049$ как $49 \cdot 10^{-3}$ или, что более удобно для данного случая, преобразуем степень $10^7$, чтобы она стала четной: $10^7 = 10 \cdot 10^6$.

$\sqrt{0,049 \cdot 10^{7}} = \sqrt{0,049 \cdot 10 \cdot 10^{6}} = \sqrt{(0,049 \cdot 10) \cdot 10^{6}} = \sqrt{0,49 \cdot 10^{6}}$

Другой способ — представить $0,049$ как $4,9 \cdot 10^{-2}$ или $49 \cdot 10^{-3}$. Выберем второй вариант, чтобы получить целое число 49:

$\sqrt{0,049 \cdot 10^{7}} = \sqrt{(49 \cdot 10^{-3}) \cdot 10^{7}}$

Сложим показатели степеней у числа 10:

$\sqrt{49 \cdot 10^{-3+7}} = \sqrt{49 \cdot 10^{4}}$

Извлечем корень из произведения:

$\sqrt{49} \cdot \sqrt{10^{4}}$

Вычисляем значения корней:

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{10^{4}} = 10^{4/2} = 10^{2}$

Перемножим полученные результаты:

$7 \cdot 10^{2} = 7 \cdot 100 = 700$

Ответ: 700.