Номер 1.165, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.165. Упростите выражение:

а) $\sqrt{y^2}$;

б) $\sqrt{(7a)^2}$;

в) $\sqrt{25n^2}$;

г) $\sqrt{\frac{16x^2}{81}}$.

Для решения данной задачи используется основное тождество для арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это означает, что корень из квадрата выражения равен модулю этого выражения. Модуль необходим, так как результат извлечения арифметического квадратного корня всегда является неотрицательным числом.

а) Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ к выражению $\sqrt{y^2}$.
В данном случае $a = y$, поэтому:
$\sqrt{y^2} = |y|$
Ответ: $|y|$

б) Упростим выражение $\sqrt{(7a)^2}$.
Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где в качестве $a$ выступает выражение $7a$:
$\sqrt{(7a)^2} = |7a|$
Используя свойство модуля произведения $|xy| = |x| \cdot |y|$, получим:
$|7a| = |7| \cdot |a| = 7|a|$
Ответ: $7|a|$

в) Упростим выражение $\sqrt{25n^2}$.
Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $25n^2 = 5^2 \cdot n^2 = (5n)^2$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{(5n)^2}$.
Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{(5n)^2} = |5n|$
Используя свойство модуля $|xy| = |x| \cdot |y|$, получим:
$|5n| = |5| \cdot |n| = 5|n|$
Ответ: $5|n|$

г) Упростим выражение $\sqrt{\frac{16x^2}{81}}$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата дроби: $\frac{16x^2}{81} = \frac{4^2 \cdot x^2}{9^2} = \left(\frac{4x}{9}\right)^2$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{\left(\frac{4x}{9}\right)^2}$.
Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:
$\sqrt{\left(\frac{4x}{9}\right)^2} = \left|\frac{4x}{9}\right|$
Используя свойство модуля частного $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}$, получим:
$\left|\frac{4x}{9}\right| = \frac{|4x|}{|9|} = \frac{|4| \cdot |x|}{9} = \frac{4|x|}{9}$
Ответ: $\frac{4|x|}{9}$