Номер 1.161, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.161. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{24}} + \sqrt{32 \cdot 50}; $

б) $ \sqrt{-27 \cdot (-108)} - \sqrt{45} : \sqrt{125}. $

а) Найдем значение выражения $ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{24}} + \sqrt{32 \cdot 50} $.
Для решения упростим каждое слагаемое по отдельности.
1. Упростим первое слагаемое $ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{24}} $. Применим свойство частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{\sqrt{54}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{54}{24}} $
Сократим подкоренное выражение, разделив числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{54}{24} = \frac{9 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{9}{4} $
Теперь извлечем корень:
$ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} $
2. Упростим второе слагаемое $ \sqrt{32 \cdot 50} $. Разложим числа под корнем на множители, чтобы выделить полные квадраты:
$ 32 = 16 \cdot 2 $
$ 50 = 2 \cdot 25 $
Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем:
$ \sqrt{32 \cdot 50} = \sqrt{(16 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 25)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 25} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40 $
3. Сложим полученные результаты:
$ \frac{3}{2} + 40 = 1\frac{1}{2} + 40 = 41\frac{1}{2} $
Ответ: 41$ \frac{1}{2} $

б) Найдем значение выражения $ \sqrt{-27 \cdot (-108)} - \sqrt{45} : \sqrt{125} $.
Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.
1. Упростим $ \sqrt{-27 \cdot (-108)} $. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:
$ \sqrt{-27 \cdot (-108)} = \sqrt{27 \cdot 108} $
Разложим числа под корнем на множители для удобства извлечения корня:
$ 27 = 9 \cdot 3 $
$ 108 = 3 \cdot 36 $
$ \sqrt{27 \cdot 108} = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 36)} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 36} = \sqrt{81 \cdot 36} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{36} = 9 \cdot 6 = 54 $
2. Упростим $ \sqrt{45} : \sqrt{125} $. Запишем деление в виде дроби и воспользуемся свойством частного корней:
$ \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{125}} = \sqrt{\frac{45}{125}} $
Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{45}{125} = \frac{9 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{9}{25} $
Теперь извлечем корень:
$ \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} $
3. Выполним вычитание:
$ 54 - \frac{3}{5} = 53\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = 53\frac{2}{5} $
Ответ: 53$ \frac{2}{5} $