Номер 1.168, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.168. Вычислите, используя свойство корня:

а) $\sqrt{5^6}$;

б) $\sqrt{(-2)^8}$;

в) $\sqrt{3^4 \cdot (-15)^2}$;

г) $\sqrt{\frac{7^2 \cdot (-2)^8}{14^4}}$.

а) Для вычисления $\sqrt{5^6}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

Представим показатель степени 6 как $2 \cdot 3$:

Применяя указанное свойство, получаем:

Так как $5^3 = 125$, что является положительным числом, то $|5^3| = 5^3 = 125$.

Ответ: 125

б) Для вычисления $\sqrt{(-2)^8}$ используем то же свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

Представим показатель степени 8 как $2 \cdot 4$:

Применяя свойство, получаем:

Поскольку показатель степени 4 является четным, $(-2)^4 = 2^4 = 16$.

Ответ: 16

в) Для вычисления $\sqrt{3^4 \cdot (-15)^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

Выражение под корнем $3^4 \cdot (-15)^2$ положительно, так как оба множителя $3^4$ и $(-15)^2$ положительны.

Теперь вычислим каждый корень отдельно, используя свойство $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$:

Перемножим полученные результаты:

Ответ: 135

г) Для вычисления $\sqrt{\frac{7^2 \cdot (-2)^8}{14^4}}$ сначала упростим подкоренное выражение.

Учтем, что $(-2)^8 = 2^8$, так как степень четная. Знаменатель $14^4$ можно представить как $(2 \cdot 7)^4 = 2^4 \cdot 7^4$.

Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

Таким образом, подкоренное выражение становится:

Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

Ответ: $\frac{4}{7}$