Номер 1.172, страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.172. Упростите выражение:

а) $\sqrt{x^2 - 6xy + 9y^2}$ при $x < 3y;$

б) $\sqrt{b^2 - 10b + 25} + \sqrt{b^2 + 14b + 49}$ при $-5,8 < b < 4,4.$

а) Дано выражение $\sqrt{x^2 - 6xy + 9y^2}$ при условии $x < 3y$.

1. Заметим, что подкоренное выражение $x^2 - 6xy + 9y^2$ представляет собой полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a=x$ и $b=3y$. Проверим: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3y) + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2$. Следовательно, выражение под корнем можно свернуть: $\sqrt{x^2 - 6xy + 9y^2} = \sqrt{(x - 3y)^2}$.

2. Применим свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. $\sqrt{(x - 3y)^2} = |x - 3y|$.

3. Теперь раскроем модуль, используя заданное условие $x < 3y$. Если $x < 3y$, то разность $x - 3y$ будет отрицательной, то есть $x - 3y < 0$. По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком: $|a| = -a$ при $a < 0$. Следовательно, $|x - 3y| = -(x - 3y) = -x + 3y = 3y - x$.

Ответ: $3y - x$.

б) Дано выражение $\sqrt{b^2 - 10b + 25} + \sqrt{b^2 + 14b + 49}$ при условии $-5,8 < b < 4,4$.

1. Упростим каждый корень по отдельности.

Первое подкоренное выражение, $b^2 - 10b + 25$, является полным квадратом разности. По формуле $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$, получаем: $b^2 - 10b + 25 = (b-5)^2$. Значит, $\sqrt{b^2 - 10b + 25} = \sqrt{(b-5)^2} = |b-5|$.

Второе подкоренное выражение, $b^2 + 14b + 49$, является полным квадратом суммы. По формуле $(a+d)^2 = a^2 + 2ad + d^2$, получаем: $b^2 + 14b + 49 = (b+7)^2$. Значит, $\sqrt{b^2 + 14b + 49} = \sqrt{(b+7)^2} = |b+7|$.

2. Исходное выражение принимает вид: $|b-5| + |b+7|$.

3. Раскроем модули с учетом условия $-5,8 < b < 4,4$.

- Для $|b-5|$: Так как $b < 4,4$, то $b$ заведомо меньше 5. Следовательно, выражение $b-5$ отрицательно ($b-5 < 0$). Поэтому $|b-5| = -(b-5) = 5-b$.

- Для $|b+7|$: Так как $b > -5,8$, то $b$ заведомо больше -7. Следовательно, выражение $b+7$ положительно ($b+7 > 0$). Поэтому $|b+7| = b+7$.

4. Подставим раскрытые модули в выражение и выполним сложение: $(5-b) + (b+7) = 5 - b + b + 7 = 12$.

Ответ: 12.