Номер 1.162, страница 47 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.162. Вычислите:

a) $\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{32}} ; $

б) $\frac{6\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{3}} ; $

в) $\frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{5}}.$

а) Вычислим значение выражения $ \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{32}} $.

Сначала упростим знаменатель, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим число 32 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом:

$ 32 = 16 \cdot 2 $

Тогда $ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $.

Теперь подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$ \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{32}} = \frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} $

Сократим дробь на общий множитель $ \sqrt{2} $ и на 4:

$ \frac{8}{4} = 2 $

Ответ: 2

б) Вычислим значение выражения $ \frac{6\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{3}} $.

Воспользуемся свойствами корней. Можно разложить $ \sqrt{21} $ на множители:

$ \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{6\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{3}} $

Сокращаем $ \sqrt{3} $ в числителе и знаменателе:

$ 6\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 6 \cdot (\sqrt{7})^2 = 6 \cdot 7 = 42 $.

Ответ: 42

в) Вычислим значение выражения $ \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{48} \cdot \sqrt{5}} $.

Сначала упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.

Для числителя: $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} $.

Для знаменателя: $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $.

Теперь подставим упрощенные значения в исходную дробь:

$ \frac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} $

Сократим общие множители $ \sqrt{5} $ и $ \sqrt{3} $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{2}{4} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $