Номер 1.294, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.294. Найдите пересечение промежутков:

а) $[-2; 3]$ и $[1; 5];$

б) $[8; 11]$ и $(9; 13];$

в) $[0; 5)$ и $[4; 9];$

г) $(-4; 7)$ и $(2; 13).$

а) Чтобы найти пересечение промежутков $[-2; 3]$ и $[1; 5]$, нужно определить множество чисел, которые принадлежат обоим этим промежуткам. Пересечение двух промежутков — это их общая часть.

Промежуток $[-2; 3]$ включает все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-2 \le x \le 3$.
Промежуток $[1; 5]$ включает все числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $1 \le x \le 5$.

Чтобы найти общую часть, выберем наибольшую из левых границ и наименьшую из правых границ:

• Левая граница пересечения: $\max(-2, 1) = 1$.
• Правая граница пересечения: $\min(3, 5) = 3$.

Поскольку оба исходных промежутка включают свои концы (отрезки), то и концы пересечения будут включены. Таким образом, пересечение этих промежутков — это отрезок $[1; 3]$. Математическая запись: $[-2; 3] \cap [1; 5] = [1; 3]$.
Ответ: $[1; 3]$

б) Найдем пересечение промежутков $[8; 11]$ и $(9; 13]$.

Промежуток $[8; 11]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $8 \le x \le 11$.
Промежуток $(9; 13]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $9 < x \le 13$.

Найдем границы пересечения:

• Левая граница: $\max(8, 9) = 9$. Так как число 9 не входит в промежуток $(9; 13]$ (строгое неравенство), оно не будет входить и в их пересечение. Скобка будет круглой.
• Правая граница: $\min(11, 13) = 11$. Так как число 11 входит в оба промежутка ($8 \le 11 \le 11$ и $9 < 11 \le 13$), оно входит и в их пересечение. Скобка будет квадратной.

Следовательно, пересечением является полуинтервал $(9; 11]$. Математическая запись: $[8; 11] \cap (9; 13] = (9; 11]$.
Ответ: $(9; 11]$

в) Найдем пересечение промежутков $[0; 5)$ и $[4; 9]$.

Промежуток $[0; 5)$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x < 5$.
Промежуток $[4; 9]$ — это множество чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $4 \le x \le 9$.

Найдем границы пересечения:

• Левая граница: $\max(0, 4) = 4$. Число 4 принадлежит обоим промежуткам ($0 \le 4 < 5$ и $4 \le 4 \le 9$), поэтому оно входит в пересечение. Скобка будет квадратной.
• Правая граница: $\min(5, 9) = 5$. Число 5 не принадлежит промежутку $[0; 5)$ (строгое неравенство), поэтому оно не входит в пересечение. Скобка будет круглой.

Таким образом, пересечением является полуинтервал $[4; 5)$. Математическая запись: $[0; 5) \cap [4; 9] = [4; 5)$.
Ответ: $[4; 5)$

г) Найдем пересечение промежутков $(-4; 7)$ и $(2; 13)$.

Промежуток $(-4; 7)$ — это интервал, содержащий числа $x$, для которых верно $-4 < x < 7$.
Промежуток $(2; 13)$ — это интервал, содержащий числа $x$, для которых верно $2 < x < 13$.

Найдем границы пересечения:

• Левая граница: $\max(-4, 2) = 2$. Число 2 не входит в промежуток $(2; 13)$, поэтому не входит и в пересечение. Скобка круглая.
• Правая граница: $\min(7, 13) = 7$. Число 7 не входит в промежуток $(-4; 7)$, поэтому не входит и в пересечение. Скобка круглая.

Следовательно, пересечением является интервал $(2; 7)$. Математическая запись: $(-4; 7) \cap (2; 13) = (2; 7)$.
Ответ: $(2; 7)$