Номер 1.297, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Требуется найти пересечение двух промежутков: $[-2; 3]$ и $(-1; 5]$. Знак пересечения $\cap$ означает, что мы ищем все точки, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно.

Первый промежуток $[-2; 3]$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-2 \le x \le 3$.

Второй промежуток $(-1; 5]$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 < x \le 5$.

Чтобы найти пересечение, нужно найти решение системы неравенств: $$ \begin{cases} -2 \le x \le 3 \\ -1 < x \le 5 \end{cases} $$ Из этой системы следует, что $x$ должен быть одновременно больше $-1$ и меньше или равен $3$. Таким образом, $-1 < x \le 3$.

В виде промежутка это записывается как $(-1; 3]$.

Ответ: $(-1; 3]$

б) Требуется найти пересечение луча $(-\infty; 4]$ и луча $[4; +\infty)$.

Первый промежуток $(-\infty; 4]$ — это все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \le 4$.

Второй промежуток $[4; +\infty)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \ge 4$.

Мы ищем числа, которые одновременно меньше или равны $4$ и больше или равны $4$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям — это $4$.

Ответ: $\{4\}$

в) Требуется найти пересечение интервала $(-8; 9)$ и полуинтервала $[9; 10)$.

Первый промежуток $(-8; 9)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-8 < x < 9$. Число $9$ не входит в этот промежуток.

Второй промежуток $[9; 10)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $9 \le x < 10$. Число $9$ входит в этот промежуток.

Так как в первом промежутке все числа строго меньше $9$, а во втором — больше или равны $9$, у этих двух промежутков нет общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

г) Требуется найти пересечение интервала $(4; 7)$ и отрезка $[4; 7]$.

Первый промежуток $(4; 7)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $4 < x < 7$.

Второй промежуток $[4; 7]$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $4 \le x \le 7$.

Пересечение этих двух множеств — это все числа, которые одновременно строго больше $4$ и строго меньше $7$. То есть, это сам интервал $(4; 7)$.

Ответ: $(4; 7)$

д) Требуется найти пересечение отрезка $[-6; 0]$ и полуинтервала $[\sqrt{5}; 11)$.

Первый промежуток $[-6; 0]$ содержит все числа от $-6$ до $0$ включительно. Наибольшее число в этом промежутке равно $0$.

Второй промежуток $[\sqrt{5}; 11)$ содержит все числа от $\sqrt{5}$ до $11$, включая $\sqrt{5}$, но не включая $11$. Оценим значение $\sqrt{5}$: так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Наименьшее число в этом промежутке равно $\sqrt{5}$, что больше $2$.

Поскольку наибольшее число первого промежутка ($0$) меньше наименьшего числа второго промежутка ($\sqrt{5}$), эти промежутки не пересекаются. Их пересечение — пустое множество.

Ответ: $\emptyset$

е) Требуется найти пересечение луча $[-7; +\infty)$ и интервала $(0; 6)$.

Первый промежуток $[-7; +\infty)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $x \ge -7$.

Второй промежуток $(0; 6)$ — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $0 < x < 6$.

Мы ищем числа, которые одновременно больше или равны $-7$ и находятся в интервале от $0$ до $6$. Общим для этих двух условий является интервал $(0; 6)$.

Ответ: $(0; 6)$