Номер 1.296, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.296. Приведите два примера промежутков, пересечением которых является промежуток:

a) $[-7; 9];$

б) $(-3; 7];$

в) $[-8; +\infty);$

г) $(-\infty; 0).$

а)Чтобы найти два промежутка, пересечением которых является отрезок $[-7; 9]$, нужно подобрать два промежутка, каждый из которых содержит этот отрезок. Пересечение двух промежутков, в общем случае, состоит из всех точек, принадлежащих обоим промежуткам.
Можно взять, например, два луча: один, заканчивающийся в точке $9$ (включительно), и второй, начинающийся в точке $-7$ (включительно). Пусть первый промежуток $A = (-\infty; 9]$, а второй $B = [-7; +\infty)$. Найдем их пересечение:$A \cap B = (-\infty; 9] \cap [-7; +\infty) = [-7; 9]$. Таким образом, искомые промежутки найдены.
Ответ: Промежутки $(-\infty; 9]$ и $[-7; +\infty)$.

б)Требуется найти два промежутка, пересечение которых равно полуинтервалу $(-3; 7]$. Левая граница $(-3)$ не включена, а правая $(7)$ включена. Чтобы левая граница пересечения была $-3$ и не включалась, необходимо, чтобы левая граница одного из исходных промежутков была $-3$ (и не включалась), а у второго левая граница была меньше или равна $-3$. Чтобы правая граница пересечения была $7$ и включалась, необходимо, чтобы оба исходных промежутка содержали точку $7$ и были замкнуты справа в этой точке или правее.
Возьмем следующие промежутки: $A = (-3; +\infty)$ и $B = (-\infty; 7]$. Найдем их пересечение:$A \cap B = (-3; +\infty) \cap (-\infty; 7] = (-3; 7]$. Условия выполнены.
Ответ: Промежутки $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; 7]$.

в)Требуется найти два промежутка, пересечение которых равно лучу $[-8; +\infty)$. Это означает, что все числа, большие или равные $-8$, должны принадлежать обоим исходным промежуткам. Следовательно, оба промежутка должны быть лучами, уходящими в $+\infty$. Левая граница пересечения $[-8; +\infty)$ определяется как максимум из левых границ исходных промежутков. Чтобы она была равна $-8$ и включалась, левая граница одного из промежутков должна быть $-8$ (включительно), а у второго - меньше или равна $-8$ (также включительно).
Возьмем, например, промежутки $A = [-10; +\infty)$ и $B = [-8; +\infty)$. Найдем их пересечение:$A \cap B = [-10; +\infty) \cap [-8; +\infty) = [\max(-10, -8); +\infty) = [-8; +\infty)$.
Ответ: Промежутки $[-10; +\infty)$ и $[-8; +\infty)$.

г)Требуется найти два промежутка, пересечение которых равно открытому лучу $(-\infty; 0)$. Это означает, что все числа, строго меньшие $0$, должны принадлежать обоим исходным промежуткам. Следовательно, оба промежутка должны быть лучами, начинающимися в $-\infty$. Правая граница пересечения $(-\infty; 0)$ определяется как минимум из правых границ исходных промежутков. Чтобы она была равна $0$ и не включалась, правая граница одного из промежутков должна быть $0$ (и не включаться), а у второго - быть больше или равной $0$.
Возьмем, например, промежутки $A = (-\infty; 0)$ и $B = (-\infty; 12)$. Найдем их пересечение:$A \cap B = (-\infty; 0) \cap (-\infty; 12) = (-\infty; \min(0, 12)) = (-\infty; 0)$.
Ответ: Промежутки $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; 12)$.