Номер 1.302, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.302. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

а) $(-\infty; 7)$ и $(5; +\infty);

б) $(3; 7)$ и $[7; 9);

в) $[5; +\infty)$ и $(-1; 5);

г) $(0; +\infty)$ и $(1; \sqrt{7}]$;

д) $(-3; 5]$ и $[-3; 5);

е) $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}]$ и $(-\sqrt{2}; \sqrt{5}).

Для решения задачи воспользуемся координатной прямой для визуализации данных промежутков и нахождения их пересечения и объединения.

Пересечение (обозначается знаком $\cap$) двух промежутков — это множество, содержащее все общие элементы этих промежутков.

Объединение (обозначается знаком $\cup$) двух промежутков — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков.

а) $(-\infty; 7)$ и $(5; +\infty)$

Изобразим на координатной прямой оба промежутка. Первый промежуток $(-\infty; 7)$ представляет собой все числа, меньшие 7. Второй промежуток $(5; +\infty)$ — все числа, большие 5.

• Пересечение: Общей частью двух промежутков является интервал, где они накладываются друг на друга. Это все числа, которые одновременно больше 5 и меньше 7.
  $(-\infty; 7) \cap (5; +\infty) = (5; 7)$
• Объединение: Объединив оба промежутка, мы получим множество, которое включает все числа из первого и второго промежутков. Вместе они покрывают всю числовую прямую.
  $(-\infty; 7) \cup (5; +\infty) = (-\infty; +\infty)$

Ответ: Пересечение: $(5; 7)$; Объединение: $(-\infty; +\infty)$.

б) $(3; 7)$ и $[7; 9)$

Первый промежуток $(3; 7)$ — это числа между 3 и 7, не включая концы. Второй промежуток $[7; 9)$ — это числа от 7 (включительно) до 9 (не включая).

• Пересечение: Общих точек у данных промежутков нет. Число 7 принадлежит второму промежутку, но не принадлежит первому, поэтому в пересечение оно не входит.
  $(3; 7) \cap [7; 9) = \emptyset$ (пустое множество).
• Объединение: Объединяя оба промежутка, мы получаем все числа от 3 (не включая) до 9 (не включая). Число 7 включается в объединение, так как оно содержится во втором промежутке.
  $(3; 7) \cup [7; 9) = (3; 9)$

Ответ: Пересечение: $\emptyset$; Объединение: $(3; 9)$.

в) $[5; +\infty)$ и $(-1; 5)$

Первый промежуток $[5; +\infty)$ — это все числа, большие или равные 5. Второй промежуток $(-1; 5)$ — это числа между -1 и 5, не включая концы.

• Пересечение: У промежутков нет общих точек. Число 5 принадлежит первому промежутку, но не принадлежит второму.
  $[5; +\infty) \cap (-1; 5) = \emptyset$
• Объединение: Объединяем все числа из обоих промежутков. Это будут все числа от -1 (не включая) до $+\infty$. Число 5 входит в объединение, так как принадлежит первому промежутку.
  $[5; +\infty) \cup (-1; 5) = (-1; +\infty)$

Ответ: Пересечение: $\emptyset$; Объединение: $(-1; +\infty)$.

г) $(0; +\infty)$ и $(1; \sqrt{7}]$

Первый промежуток $(0; +\infty)$ — это все положительные числа. Второй промежуток $(1; \sqrt{7}]$ — это числа между 1 (не включая) и $\sqrt{7}$ (включительно). Заметим, что $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{7} < 3$.

• Пересечение: Второй промежуток $(1; \sqrt{7}]$ полностью содержится в первом промежутке $(0; +\infty)$. Следовательно, их пересечение равно второму (меньшему) промежутку.
  $(0; +\infty) \cap (1; \sqrt{7}] = (1; \sqrt{7}]$
• Объединение: Так как второй промежуток является подмножеством первого, их объединение равно первому (большему) промежутку.
  $(0; +\infty) \cup (1; \sqrt{7}] = (0; +\infty)$

Ответ: Пересечение: $(1; \sqrt{7}]$; Объединение: $(0; +\infty)$.

д) $(-3; 5]$ и $[-3; 5)$

Первый промежуток $(-3; 5]$ — это числа от -3 (не включая) до 5 (включительно). Второй промежуток $[-3; 5)$ — это числа от -3 (включительно) до 5 (не включая).

• Пересечение: Общей частью являются все числа, которые строго больше -3 и строго меньше 5. Концевые точки -3 и 5 не входят в пересечение, так как каждая из них принадлежит только одному из промежутков.
  $(-3; 5] \cap [-3; 5) = (-3; 5)$
• Объединение: Объединение включает все числа из обоих промежутков. Число -3 входит (из второго промежутка), и число 5 входит (из первого промежутка). В результате получаем отрезок от -3 до 5.
  $(-3; 5] \cup [-3; 5) = [-3; 5]$

Ответ: Пересечение: $(-3; 5)$; Объединение: $[-3; 5]$.

е) $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}]$ и $(-\sqrt{2}; \sqrt{5})$

Первый промежуток $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}]$ — это замкнутый отрезок, включающий концы. Второй промежуток $(-\sqrt{2}; \sqrt{5})$ — это открытый интервал, не включающий концы.

• Пересечение: Второй промежуток (интервал) полностью содержится в первом (отрезке). Их пересечением будет меньший из промежутков.
  $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}] \cap (-\sqrt{2}; \sqrt{5}) = (-\sqrt{2}; \sqrt{5})$
• Объединение: Так как второй промежуток является подмножеством первого, их объединением будет больший из промежутков.
  $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}] \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{5}) = [-\sqrt{2}; \sqrt{5}]$

Ответ: Пересечение: $(-\sqrt{2}; \sqrt{5})$; Объединение: $[-\sqrt{2}; \sqrt{5}]$.