Номер 1.295, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.295. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) $(-\infty; 5)$ и $[-3; 7]$;

б) $(-\infty; 0]$ и $[-3; 5)$;

в) $[8; +\infty)$ и $(-\sqrt{3}; 14)$;

г) $(-2; +\infty)$ и $[3; +\infty)$.

Для нахождения пересечения двух промежутков необходимо найти их общую часть, то есть все числа, которые принадлежат одновременно обоим промежуткам. Удобно использовать для этого координатную прямую.

а) Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 5)$ и $[-3; 7]$.

Для этого представим оба промежутка на координатной прямой.
Первый промежуток, $(-\infty; 5)$, включает все числа, меньшие 5. На прямой это будет луч, идущий влево от точки 5, причём сама точка 5 не включается (обозначается "выколотой" или пустой точкой).
Второй промежуток, $[-3; 7]$, включает все числа от -3 до 7 включительно. На прямой это отрезок, ограниченный "закрашенными" или сплошными точками -3 и 7.

Теперь найдём их общую часть. Для этого нанесём оба промежутка на одну прямую. Штриховка для первого промежутка покроет всю область левее 5. Штриховка для второго покроет область между -3 и 7. Область, где штриховки пересекаются, начинается в точке -3 и заканчивается в точке 5.

Определим границы пересечения:

• Левая граница: -3. Точка -3 принадлежит первому промежутку (так как $-3 < 5$) и второму промежутку (так как он включает -3). Следовательно, -3 входит в пересечение. Используем квадратную скобку: $[$.
• Правая граница: 5. Точка 5 принадлежит второму промежутку (так как $-3 \le 5 \le 7$), но не принадлежит первому промежутку. Так как для пересечения точка должна принадлежать обоим промежуткам, 5 не входит в пересечение. Используем круглую скобку: $)$.

Таким образом, пересечение промежутков: $(-\infty; 5) \cap [-3; 7] = [-3; 5)$.

Ответ: $[-3; 5)$.

б) Найдем пересечение промежутков $(-\infty; 0]$ и $[-3; 5)$.

Представим оба промежутка на координатной прямой.
Первый промежуток, $(-\infty; 0]$, включает все числа, меньшие или равные 0. На прямой это луч, идущий влево от точки 0, причём сама точка 0 включается (закрашенная точка).
Второй промежуток, $[-3; 5)$, включает все числа от -3 (включительно) до 5 (не включительно). На прямой это полуинтервал, ограниченный закрашенной точкой -3 и выколотой точкой 5.

Найдём общую часть этих промежутков. Область пересечения будет лежать там, где оба промежутка существуют одновременно. Она начинается в точке -3 и заканчивается в точке 0.

Определим границы пересечения:

• Левая граница: -3. Точка -3 принадлежит первому промежутку (так как $-3 \le 0$) и второму промежутку (так как он включает -3). Следовательно, -3 входит в пересечение. Используем квадратную скобку: $[$.
• Правая граница: 0. Точка 0 принадлежит первому промежутку (так как он включает 0) и второму промежутку (так как $-3 \le 0 < 5$). Следовательно, 0 входит в пересечение. Используем квадратную скобку: $]$.

Таким образом, пересечение промежутков: $(-\infty; 0] \cap [-3; 5) = [-3; 0]$.

Ответ: $[-3; 0]$.

в) Найдем пересечение промежутков $[8; +\infty)$ и $(-\sqrt{3}; 14)$.

Представим оба промежутка на координатной прямой.
Первый промежуток, $[8; +\infty)$, включает все числа, большие или равные 8. На прямой это луч, идущий вправо от точки 8, причём сама точка 8 включается (закрашенная точка).
Второй промежуток, $(-\sqrt{3}; 14)$, включает все числа от $-\sqrt{3}$ до 14, не включая концы. Приближенное значение $-\sqrt{3} \approx -1.73$. На прямой это интервал, ограниченный выколотыми точками $-\sqrt{3}$ и 14.

Найдём общую часть этих промежутков. На координатной прямой отметим точки в порядке возрастания: $-\sqrt{3}$, 8, 14. Область пересечения будет там, где штриховки от обоих промежутков накладываются друг на друга. Это происходит на участке от 8 до 14.

Определим границы пересечения:

• Левая граница: 8. Точка 8 принадлежит первому промежутку (так как он включает 8) и второму промежутку (так как $-\sqrt{3} < 8 < 14$). Следовательно, 8 входит в пересечение. Используем квадратную скобку: $[$.
• Правая граница: 14. Точка 14 принадлежит первому промежутку (так как $14 \ge 8$), но не принадлежит второму промежутку. Следовательно, 14 не входит в пересечение. Используем круглую скобку: $)$.

Таким образом, пересечение промежутков: $[8; +\infty) \cap (-\sqrt{3}; 14) = [8; 14)$.

Ответ: $[8; 14)$.

г) Найдем пересечение промежутков $(-2; +\infty)$ и $[3; +\infty)$.

Представим оба промежутка на координатной прямой.
Первый промежуток, $(-2; +\infty)$, включает все числа, большие -2. На прямой это луч, идущий вправо от точки -2, причём сама точка -2 не включается (выколотая точка).
Второй промежуток, $[3; +\infty)$, включает все числа, большие или равные 3. На прямой это луч, идущий вправо от точки 3, причём сама точка 3 включается (закрашенная точка).

Найдём общую часть этих промежутков. Оба промежутка — это лучи, уходящие в $+\infty$. Пересечением будет луч, который начинается с большей из двух начальных точек. В данном случае это точка 3.

Определим границу пересечения:

• Левая граница: 3. Точка 3 принадлежит первому промежутку (так как $3 > -2$) и второму промежутку (так как он включает 3). Следовательно, 3 входит в пересечение. Используем квадратную скобку: $[$.
• Правая граница: пересечение уходит в $+\infty$.

Таким образом, пересечение промежутков: $(-2; +\infty) \cap [3; +\infty) = [3; +\infty)$.

Ответ: $[3; +\infty)$.