Номер 1.299, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.299. Используя координатную прямую, найдите объединение промежутков:

a) $(-\infty; 4)$ и $[-2; 9];$

б) $(-\infty; \sqrt{2}]$ и $[-1; 6);$

в) $[4; +\infty)$ и $(-1; +\infty);$

г) $(0; +\infty)$ и $(-7; 6].$

Объединение промежутков — это множество, которое включает в себя все числа, принадлежащие хотя бы одному из данных промежутков. Чтобы найти объединение, удобно представить промежутки на координатной прямой и взять все отмеченные участки.

Первый промежуток $(-\infty; 4)$ представляет собой все числа, которые строго меньше 4. На координатной прямой это луч, идущий от точки 4 влево, при этом сама точка 4 не включается (выколотая точка).

Второй промежуток $[-2; 9]$ включает все числа от -2 до 9 включительно. На координатной прямой это отрезок с закрашенными концами в точках -2 и 9.

При объединении этих промежутков мы берем все точки, которые принадлежат первому или второму промежутку. На числовой оси это будет непрерывная область, которая начинается от $-\infty$ (из первого промежутка) и заканчивается в точке 9 (из второго промежутка), причем точка 9 включается.

Математическая запись объединения: $(-\infty; 4) \cup [-2; 9] = (-\infty; 9]$.

Ответ: $(-\infty; 9]$.

Первый промежуток $(-\infty; \sqrt{2}]$ — это все числа, меньшие или равные $\sqrt{2}$ (приблизительно 1,41). Точка $\sqrt{2}$ входит в промежуток.

Второй промежуток $[-1; 6)$ — это все числа от -1 (включительно) до 6 (не включительно).

Объединяя эти два промежутка, мы видим, что они перекрываются. Объединенный промежуток будет начинаться от самой левой границы ($-\infty$) и заканчиваться самой правой границей (6). Так как 6 не входит во второй промежуток, она не войдет и в объединение.

Математическая запись объединения: $(-\infty; \sqrt{2}] \cup [-1; 6) = (-\infty; 6)$.

Ответ: $(-\infty; 6)$.

Первый промежуток $[4; +\infty)$ — это все числа, большие или равные 4.

Второй промежуток $(-1; +\infty)$ — это все числа, строго большие -1.

На координатной прямой видно, что любой число из промежутка $[4; +\infty)$ также принадлежит и промежутку $(-1; +\infty)$. Это означает, что первый промежуток является подмножеством второго. В этом случае их объединением будет больший из промежутков.

Математическая запись объединения: $[4; +\infty) \cup (-1; +\infty) = (-1; +\infty)$.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

Первый промежуток $(0; +\infty)$ — это все положительные числа (строго больше 0).

Второй промежуток $(-7; 6]$ — это все числа от -7 (не включая) до 6 (включая).

Эти промежутки перекрываются на интервале $(0; 6]$. Для нахождения объединения мы берем самую левую границу из всех промежутков (это -7) и самую правую (это $+\infty$). Так как точка -7 не входит в свой промежуток, она не будет входить и в объединение.

Математическая запись объединения: $(0; +\infty) \cup (-7; 6] = (-7; +\infty)$.

Ответ: $(-7; +\infty)$.