Номер 1.304, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.304. Для чисел $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ известно, что $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$. Найдите:

а) $(x_1; x_3) \cap (x_2; x_4);$

б) $(x_1; x_3) \cup (x_2; x_4);$

в) $(x_1; x_4) \cap (x_2; x_3);$

г) $(x_1; x_4) \cup (x_2; x_3).$

Для решения задачи воспользуемся определениями пересечения ($\cap$) и объединения ($\cup$) множеств на числовой прямой, учитывая заданное условие $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$.

а) $(x_1; x_3) \cap (x_2; x_4)$
Пересечение двух интервалов — это множество всех точек, которые принадлежат каждому из этих интервалов. Нам нужно найти числа $x$, для которых одновременно выполняются неравенства $x_1 < x < x_3$ и $x_2 < x < x_4$.
Совмещая условия, получаем:

• Из $x > x_1$ и $x > x_2$, учитывая, что $x_1 < x_2$, следует более сильное условие $x > x_2$.
• Из $x < x_3$ и $x < x_4$, учитывая, что $x_3 < x_4$, следует более сильное условие $x < x_3$.

Таким образом, искомое пересечение — это интервал, состоящий из всех чисел $x$, удовлетворяющих условию $x_2 < x < x_3$.
Ответ: $(x_2; x_3)$.

б) $(x_1; x_3) \cup (x_2; x_4)$
Объединение двух интервалов — это множество всех точек, которые принадлежат хотя бы одному из них. Мы объединяем интервалы $(x_1; x_3)$ и $(x_2; x_4)$.
Поскольку эти интервалы пересекаются (на промежутке $(x_2; x_3)$), их объединение будет представлять собой один непрерывный интервал.
Левая граница этого интервала будет наименьшей из левых границ, то есть $x_1$ (так как $x_1 < x_2$).
Правая граница будет наибольшей из правых границ, то есть $x_4$ (так как $x_3 < x_4$).
Ответ: $(x_1; x_4)$.

в) $(x_1; x_4) \cap (x_2; x_3)$
Нам нужно найти пересечение интервалов $(x_1; x_4)$ и $(x_2; x_3)$.
Из условия $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ следует, что каждая точка интервала $(x_2; x_3)$ также находится и в интервале $(x_1; x_4)$. Это означает, что интервал $(x_2; x_3)$ является подмножеством интервала $(x_1; x_4)$, то есть $(x_2; x_3) \subset (x_1; x_4)$.
Когда одно множество является подмножеством другого, их пересечением всегда является меньшее множество (подмножество).
Ответ: $(x_2; x_3)$.

г) $(x_1; x_4) \cup (x_2; x_3)$
Нам нужно найти объединение интервалов $(x_1; x_4)$ и $(x_2; x_3)$.
Как и в предыдущем пункте, интервал $(x_2; x_3)$ является подмножеством интервала $(x_1; x_4)$.
Когда одно множество является подмножеством другого, их объединением всегда является большее из множеств.
Ответ: $(x_1; x_4)$.