Номер 1.298, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.298. Найдите объединение промежутков:

а) $ [-3; 2] $ и $ [1; 7]; $

б) $ [7; 10] $ и $ (8; 12]; $

в) $ [-6; 1) $ и $ [0; 8]; $

г) $ (-5; 10) $ и $ (3; 12). $

Объединением двух или более множеств (в данном случае, числовых промежутков) называется множество, содержащее все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств. Для числовых промежутков, которые пересекаются или соприкасаются, их объединение представляет собой один непрерывный промежуток, начинающийся в самой левой точке и заканчивающийся в самой правой точке всех объединяемых промежутков.

а) Даны промежутки $ [-3; 2] $ и $ [1; 7] $. Первый промежуток — это все числа $x$, для которых $ -3 \le x \le 2 $. Второй промежуток — это все числа $x$, для которых $ 1 \le x \le 7 $. Эти промежутки пересекаются, так как у них есть общая часть (от 1 до 2). Чтобы найти их объединение, мы берем наименьшее значение из обоих промежутков (это -3) и наибольшее значение (это 7). Объединение будет включать все числа между -3 и 7, включая концы. Таким образом, $ [-3; 2] \cup [1; 7] = [-3; 7] $.
Ответ: $ [-3; 7] $

б) Даны промежутки $ [7; 10] $ и $ (8; 12] $. Первый промежуток: $ 7 \le x \le 10 $. Второй промежуток: $ 8 < x \le 12 $. Эти промежутки также пересекаются (на интервале от 8 до 10). Наименьшая точка объединения — это 7 (из первого промежутка), а наибольшая — 12 (из второго промежутка). Обе эти точки включены в свои промежутки (обозначены квадратными скобками), поэтому они будут включены и в итоговый промежуток. Таким образом, $ [7; 10] \cup (8; 12] = [7; 12] $.
Ответ: $ [7; 12] $

в) Даны промежутки $ [-6; 1) $ и $ [0; 8] $. Первый промежуток: $ -6 \le x < 1 $. Второй промежуток: $ 0 \le x \le 8 $. Промежутки пересекаются на общей части от 0 (включительно) до 1 (не включая). Наименьшая точка объединения — -6 (включительно), а наибольшая — 8 (включительно). Таким образом, $ [-6; 1) \cup [0; 8] = [-6; 8] $.
Ответ: $ [-6; 8] $

г) Даны промежутки $ (-5; 10) $ и $ (3; 12) $. Первый промежуток: $ -5 < x < 10 $. Второй промежуток: $ 3 < x < 12 $. Промежутки пересекаются (на интервале от 3 до 10). Наименьшая точка объединения — -5, а наибольшая — 12. Обе эти точки не включены в свои промежутки (обозначены круглыми скобками), поэтому они не будут включены и в итоговый промежуток. Таким образом, $ (-5; 10) \cup (3; 12) = (-5; 12) $.
Ответ: $ (-5; 12) $