Номер 1.320, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.320. Решите неравенство:

а) $8x^2 - 2x(4x + 1) \leq x$;

б) $(x - 5)^2 > x^2 + 3x - 1.$

а) Решим неравенство $8x^2 - 2x(4x + 1) \le x$.

Сначала упростим левую часть, раскрыв скобки:

$8x^2 - 2x \cdot 4x - 2x \cdot 1 \le x$

$8x^2 - 8x^2 - 2x \le x$

Приводим подобные слагаемые, $8x^2$ и $-8x^2$ взаимно уничтожаются:

$-2x \le x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть неравенства:

$0 \le x + 2x$

$0 \le 3x$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$0 \le x$

Таким образом, решением является любое число, большее или равное нулю. В виде промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 5)^2 > x^2 + 3x - 1$.

Сначала раскроем квадрат разности в левой части по формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 > x^2 + 3x - 1$

$x^2 - 10x + 25 > x^2 + 3x - 1$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$x^2 - 10x + 25 - x^2 - 3x + 1 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-10x - 3x) + (25 + 1) > 0$

$-13x + 26 > 0$

Перенесем свободный член 26 в правую часть:

$-13x > -26$

Разделим обе части на -13. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с `>` на `<`):

$x < \frac{-26}{-13}$

В результате деления получаем неправильную дробь $\frac{26}{13}$, которая равна целому числу 2.

$x < 2$

Таким образом, решением является любое число, строго меньшее 2. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.