Номер 1.317, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.317. Представьте выражение $\frac{(3^{-2})^3}{27^{-3}}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$.

Для решения данной задачи необходимо пошагово упростить выражение, используя свойства степеней, и затем привести его к требуемому основанию $\frac{1}{3}$.

Исходное выражение: $\frac{(3^{-2})^3}{27^{-3}}$

Шаг 1: Упрощение числителя

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{-2})^3 = 3^{-2 \cdot 3} = 3^{-6}$

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Представим число 27 как степень числа 3, поскольку основание в числителе равно 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$.

Теперь знаменатель имеет вид $(3^3)^{-3}$. Снова используем свойство возведения степени в степень:

$27^{-3} = (3^3)^{-3} = 3^{3 \cdot (-3)} = 3^{-9}$

Шаг 3: Упрощение всей дроби

Подставим упрощенные значения числителя и знаменателя в исходное выражение:

$\frac{3^{-6}}{3^{-9}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{-6}}{3^{-9}} = 3^{-6 - (-9)} = 3^{-6 + 9} = 3^3$

Шаг 4: Приведение результата к основанию $\frac{1}{3}$

Мы получили выражение $3^3$. Наша цель — представить его в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$.

Воспользуемся свойством, связывающим основание $a$ и обратное ему $\frac{1}{a}$: $a = (\frac{1}{a})^{-1}$.

Применим это для нашего основания: $3 = (\frac{1}{3})^{-1}$.

Теперь подставим это в наше выражение $3^3$:

$3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3$

И в последний раз воспользуемся свойством возведения степени в степень:

$((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-1 \cdot 3} = (\frac{1}{3})^{-3}$

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^{-3}$.