Номер 1.314, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.314. Используя координатную прямую, найдите объединение промежутков:

а) $[-3; 10]$ и $[1; 12];$

б) $(0; 2]$ и $(1; 5];$

в) $(-\infty; \sqrt{3})$ и $[-6; 11];$

г) $[0; +\infty)$ и $(-5; 8).$

Объединение двух промежутков — это множество, содержащее все точки, которые принадлежат хотя бы одному из этих промежутков. Чтобы найти объединение, мы отмечаем оба промежутка на координатной прямой и смотрим, какая область оказывается закрашенной.

а) Найдем объединение промежутков $[-3; 10]$ и $[1; 12]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Квадратные скобки означают, что концы промежутков включены (на прямой они отмечаются закрашенными точками).

• Промежуток $[-3; 10]$ включает все числа от -3 до 10.
• Промежуток $[1; 12]$ включает все числа от 1 до 12.

Объединяя эти два промежутка, мы берем все числа, которые попадают хотя бы в один из них. Это будет непрерывный промежуток, начинающийся с наименьшей левой границы, то есть -3, и заканчивающийся наибольшей правой границей, то есть 12.

Таким образом, $[-3; 10] \cup [1; 12] = [-3; 12]$.

Ответ: $[-3; 12]$.

б) Найдем объединение промежутков $(0; 2]$ и $(1; 5]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Круглая скобка означает, что конец промежутка не включен (выколотая точка), а квадратная — что включен (закрашенная точка).

• Промежуток $(0; 2]$ включает все числа больше 0 и меньше либо равные 2. Точка 0 не входит, точка 2 входит.
• Промежуток $(1; 5]$ включает все числа больше 1 и меньше либо равные 5. Точка 1 не входит, точка 5 входит.

Эти промежутки пересекаются. Объединение будет начинаться с наименьшей границы, то есть 0 (не включая), и заканчиваться наибольшей границей, то есть 5 (включая).

Таким образом, $(0; 2] \cup (1; 5] = (0; 5]$.

Ответ: $(0; 5]$.

в) Найдем объединение промежутков $(-\infty; \sqrt{3})$ и $[-6; 11]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Для этого оценим значение $\sqrt{3}$: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$.

• Промежуток $(-\infty; \sqrt{3})$ включает все числа, меньшие $\sqrt{3}$. Точка $\sqrt{3}$ не входит (выколотая точка).
• Промежуток $[-6; 11]$ включает все числа от -6 до 11. Точки -6 и 11 входят (закрашенные точки).

Первый промежуток покрывает всю числовую прямую левее $\sqrt{3}$. Второй промежуток покрывает отрезок от -6 до 11. Поскольку $-6 < \sqrt{3}$, второй промежуток частично перекрывается с первым. Объединение будет начинаться от $-\infty$ и заканчиваться наибольшей правой границей, которая равна 11 (и включена в промежуток).

Таким образом, $(-\infty; \sqrt{3}) \cup [-6; 11] = (-\infty; 11]$.

Ответ: $(-\infty; 11]$.

г) Найдем объединение промежутков $[0; +\infty)$ и $(-5; 8)$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой.

• Промежуток $[0; +\infty)$ включает все числа, большие либо равные 0. Точка 0 входит (закрашенная точка).
• Промежуток $(-5; 8)$ включает все числа между -5 и 8. Точки -5 и 8 не входят (выколотые точки).

Первый промежуток покрывает всю числовую прямую правее 0 (включая 0). Второй промежуток покрывает интервал от -5 до 8. Объединение этих множеств будет включать все числа из второго промежутка и все числа из первого. Оно начнется с наименьшей границы, то есть -5 (не включая), и будет продолжаться до $+\infty$, так как первый промежуток уходит в бесконечность.

Таким образом, $[0; +\infty) \cup (-5; 8) = (-5; +\infty)$.

Ответ: $(-5; +\infty)$.