Номер 1.315, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.315. Найдите:

a) $ rationing $

б) $[3; +\infty) \cup (8; 9);$

в) $[2; 4] \cup (2; 4);$

г) $(-2; \sqrt{5}] \cup [-2; \sqrt{5}].$

а) Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Нам необходимо найти объединение числовых промежутков $[-2; 5]$ и $[5; 8)$.
Первый промежуток $[-2; 5]$ содержит все действительные числа $x$, такие что $-2 \le x \le 5$.
Второй промежуток $[5; 8)$ содержит все действительные числа $x$, такие что $5 \le x < 8$.
Объединение этих промежутков будет включать все числа из первого и второго промежутков. Так как точка $5$ включена в оба промежутка, она соединяет их в один непрерывный промежуток, который начинается с наименьшего значения $(-2)$ и заканчивается наибольшим $(8)$. Поскольку $-2$ входит в первый промежуток (квадратная скобка), а $8$ не входит во второй (круглая скобка), результирующий промежуток будет $[-2; 8)$.
Математически это записывается так: $[-2; 5] \cup [5; 8) = [-2; 8)$.
Ответ: $[-2; 8)$.

б) Нам необходимо найти объединение промежутков $[3; +\infty)$ и $(8; 9)$.
Первый промежуток $[3; +\infty)$ включает все числа, большие или равные 3.
Второй промежуток $(8; 9)$ включает все числа, строго большие 8 и строго меньшие 9.
Любое число из промежутка $(8; 9)$ также является числом, большим 3. Это означает, что второй промежуток $(8; 9)$ полностью содержится в первом промежутке $[3; +\infty)$.
Когда одно множество является подмножеством другого, их объединение равно большему из этих множеств.
Следовательно, $[3; +\infty) \cup (8; 9) = [3; +\infty)$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

в) Нам необходимо найти объединение промежутков $[2; 4]$ и $(2; 4)$.
Первый промежуток $[2; 4]$ — это отрезок, включающий все числа от 2 до 4, включая концы $x=2$ и $x=4$.
Второй промежуток $(2; 4)$ — это интервал, включающий все числа между 2 и 4, не включая концы.
Интервал $(2; 4)$ является подмножеством отрезка $[2; 4]$.
Объединение множества и его подмножества равно самому множеству (большему из них). В данном случае, мы объединяем все числа из $(2; 4)$ с числами из $[2; 4]$. Так как $[2; 4]$ уже содержит все числа из $(2; 4)$, а также точки 2 и 4, то объединение будет равно $[2; 4]$.
Таким образом, $[2; 4] \cup (2; 4) = [2; 4]$.
Ответ: $[2; 4]$.

г) Нам необходимо найти объединение промежутков $(-2; \sqrt{5}]$ и $[-2; \sqrt{5}]$.
Первый промежуток $(-2; \sqrt{5}]$ — это полуинтервал, содержащий все числа $x$, такие что $-2 < x \le \sqrt{5}$. Он не включает левый конец.
Второй промежуток $[-2; \sqrt{5}]$ — это отрезок, содержащий все числа $x$, такие что $-2 \le x \le \sqrt{5}$. Он включает оба конца.
Первый промежуток $(-2; \sqrt{5}]$ является подмножеством второго промежутка $[-2; \sqrt{5}]$, так как все числа, принадлежащие первому, принадлежат и второму.
Объединение этих двух множеств будет равно большему из них, то есть тому, которое включает все элементы обоих. Это промежуток $[-2; \sqrt{5}]$.
Следовательно, $(-2; \sqrt{5}] \cup [-2; \sqrt{5}] = [-2; \sqrt{5}]$.
Ответ: $[-2; \sqrt{5}]$.