Номер 1.313, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.313. Найдите:

a) $ [-3; 6] \cap [6; 9) $;

б) $ [5; +\infty) \cap (6; +\infty) $;

в) $ [\sqrt{2}; 8] \cap (8; 9) $;

г) $ [4; 9) \cap [4; 9] $.

а) $[-3; 6] \cap [6; 9)$
Для нахождения пересечения двух числовых промежутков $[-3; 6]$ и $[6; 9)$ необходимо найти все числа, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно.
Первый промежуток $[-3; 6]$ содержит все действительные числа $x$, такие что $-3 \le x \le 6$.
Второй промежуток $[6; 9)$ содержит все действительные числа $x$, такие что $6 \le x < 9$.
Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям (и $x \le 6$, и $x \ge 6$) — это число $6$.
Ответ: $\{6\}$

б) $[5; +\infty) \cap (6; +\infty)$
Найдем пересечение промежутков $[5; +\infty)$ и $(6; +\infty)$.
Первый промежуток $[5; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется неравенство $x \ge 5$.
Второй промежуток $(6; +\infty)$ — это множество всех чисел $x$, для которых выполняется строгое неравенство $x > 6$.
Пересечение этих двух множеств будет содержать числа, удовлетворяющие обоим условиям одновременно: $x \ge 5$ и $x > 6$. Условие $x > 6$ является более сильным, так как любое число, большее $6$, автоматически больше $5$. Следовательно, пересечением является промежуток $(6; +\infty)$.
Ответ: $(6; +\infty)$

в) $[\sqrt{2}; 8] \cap (8; 9)$
Найдем пересечение промежутков $[\sqrt{2}; 8]$ и $(8; 9)$.
Первый промежуток $[\sqrt{2}; 8]$ включает все числа $x$, такие что $\sqrt{2} \le x \le 8$.
Второй промежуток $(8; 9)$ включает все числа $x$, такие что $8 < x < 9$.
Чтобы число принадлежало пересечению, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: $x \le 8$ и $x > 8$. Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно $8$ и строго больше $8$.
Следовательно, пересечение этих промежутков является пустым множеством.
Ответ: $\emptyset$

г) $[4; 9) \cap [4; 9]$
Найдем пересечение промежутков $[4; 9)$ и $[4; 9]$.
Первый промежуток $[4; 9)$ — это множество всех чисел $x$, таких что $4 \le x < 9$.
Второй промежуток $[4; 9]$ — это множество всех чисел $x$, таких что $4 \le x \le 9$.
Пересечение будет содержать все числа, которые удовлетворяют обоим условиям. Совмещая условия $4 \le x < 9$ и $4 \le x \le 9$, мы получаем, что $x$ должен быть больше или равен $4$ и одновременно строго меньше $9$. Таким образом, пересечением является сам промежуток $[4; 9)$.
Ответ: $[4; 9)$