Номер 1.312, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.312. Используя координатную прямую, найдите пересечение промежутков:

а) $[-7; 9]$ и $[2; 7];$

б) $(0; 3]$ и $(1; 4];$

в) $(-\infty; 6)$ и $[-5; 7];$

г) $[1; +\infty)$ и $(-\sqrt{5}; 3).$

а) Чтобы найти пересечение промежутков $[-7; 9]$ и $[2; 7]$, нанесём их на одну координатную прямую.
Промежуток $[-7; 9]$ включает все числа от -7 до 9. Концевые точки -7 и 9 включены, так как скобки квадратные.
Промежуток $[2; 7]$ включает все числа от 2 до 7. Концевые точки 2 и 7 также включены.
Пересечение — это общая часть двух промежутков. Визуально на прямой это область, где заштрихованы оба промежутка. Эта область начинается в точке 2 и заканчивается в точке 7.
Поскольку точки 2 и 7 принадлежат обоим исходным промежуткам, они включаются в пересечение.
Следовательно, пересечением является отрезок $[2; 7]$.
Запись: $[-7; 9] \cap [2; 7] = [2; 7]$.
Ответ: $[2; 7]$.

б) Найдём пересечение промежутков $(0; 3]$ и $(1; 4]$.
Промежуток $(0; 3]$ — это полуинтервал, включающий все числа от 0 до 3. Точка 0 не включается (круглая скобка), а точка 3 включается (квадратная скобка).
Промежуток $(1; 4]$ — это полуинтервал, включающий все числа от 1 до 4. Точка 1 не включается, а точка 4 включается.
Общая часть этих промежутков начинается с числа 1 и заканчивается числом 3.
Точка 1 не входит в промежуток $(1; 4]$, поэтому она не будет входить и в их пересечение. Граница будет открытой (круглая скобка).
Точка 3 входит в оба промежутка, поэтому она входит и в пересечение. Граница будет закрытой (квадратная скобка).
Таким образом, пересечением является полуинтервал $(1; 3]$.
Запись: $(0; 3] \cap (1; 4] = (1; 3]$.
Ответ: $(1; 3]$.

в) Найдём пересечение промежутков $(-\infty; 6)$ и $[-5; 7]$.
Промежуток $(-\infty; 6)$ — это открытый луч, включающий все числа, которые меньше 6. Точка 6 не включается.
Промежуток $[-5; 7]$ — это отрезок, включающий все числа от -5 до 7 включительно.
На координатной прямой общая часть этих двух множеств — это все числа, которые одновременно меньше 6 и не меньше -5.
Это числа от -5 до 6.
Точка -5 включена в оба исходных множества, значит, она входит в пересечение.
Точка 6 не включена в промежуток $(-\infty; 6)$, поэтому она не входит в пересечение.
Следовательно, пересечением является полуинтервал $[-5; 6)$.
Запись: $(-\infty; 6) \cap [-5; 7] = [-5; 6)$.
Ответ: $[-5; 6)$.

г) Найдём пересечение промежутков $[1; +\infty)$ и $(-\sqrt{5}; 3)$.
Оценим значение $-\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$. Соответственно, $-3 < -\sqrt{5} < -2$.
Промежуток $[1; +\infty)$ — это луч, включающий все числа, большие или равные 1. Точка 1 включена.
Промежуток $(-\sqrt{5}; 3)$ — это интервал, включающий все числа между $-\sqrt{5}$ и 3. Концевые точки не включены.
Изобразив на прямой, видим, что общая часть начинается в точке 1 и заканчивается в точке 3.
Точка 1 принадлежит первому промежутку $[1; +\infty)$ и также второму $(-\sqrt{5}; 3)$ (так как $1 > -\sqrt{5}$), следовательно, она входит в пересечение.
Точка 3 не принадлежит второму промежутку $(-\sqrt{5}; 3)$, поэтому она не входит в пересечение.
Таким образом, пересечением является полуинтервал $[1; 3)$.
Запись: $[1; +\infty) \cap (-\sqrt{5}; 3) = [1; 3)$.
Ответ: $[1; 3)$.