Номер 1.316, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.316. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объединение промежутков:

а) $(-\infty; -3)$ и $(-8; +\infty);$

б) $(-2; 9)$ и $[9; 12);$

в) $[6; +\infty)$ и $(0; 6);$

г) $(-\infty; 12)$ и $(0; \sqrt{5});$

д) $[-7; 12)$ и $(-7; 12];$

е) $[0; \sqrt{10}]$ и $(0; \sqrt{10}).$

Для решения задачи представим каждый из промежутков на координатной прямой и найдем их пересечение (общую часть) и объединение (совокупность всех частей).

а) Даны промежутки $(-\infty; -3)$ и $(-8; +\infty)$.

Изобразим их на координатной прямой. Промежуток $(-\infty; -3)$ — это все числа левее точки -3 (точка -3 не включена). Промежуток $(-8; +\infty)$ — это все числа правее точки -8 (точка -8 не включена).

• Пересечением $( \cap )$ является их общая часть, то есть интервал от -8 до -3.
• Объединением $( \cup )$ является множество, содержащее все точки обоих промежутков, что в данном случае покрывает всю координатную прямую.

Ответ: пересечение: $(-8; -3)$; объединение: $(-\infty; +\infty)$.

б) Даны промежутки $(-2; 9)$ и $[9; 12)$.

Промежуток $(-2; 9)$ — это числа между -2 и 9, не включая концы. Промежуток $[9; 12)$ — это числа от 9 до 12, включая 9, но не включая 12.

• Пересечение: у этих промежутков нет общих точек, так как число 9 не принадлежит первому промежутку.
• Объединение: если сложить все числа из обоих промежутков, получится непрерывный промежуток от -2 до 12, не включая концы.

Ответ: пересечение: $\emptyset$; объединение: $(-2; 12)$.

в) Даны промежутки $[6; +\infty)$ и $(0; 6)$.

Промежуток $[6; +\infty)$ — это все числа, большие или равные 6. Промежуток $(0; 6)$ — это все числа между 0 и 6, не включая концы.

• Пересечение: у этих промежутков нет общих точек, так как число 6 не принадлежит второму промежутку.
• Объединение: совокупность всех чисел из обоих промежутков дает все числа, строго большие 0.

Ответ: пересечение: $\emptyset$; объединение: $(0; +\infty)$.

г) Даны промежутки $(-\infty; 12)$ и $(0; \sqrt{5})$.

Поскольку $2^2=4$ и $3^2=9$, то $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Следовательно, $0 < \sqrt{5} < 12$. Это означает, что промежуток $(0; \sqrt{5})$ полностью содержится внутри промежутка $(-\infty; 12)$.

• Пересечение: так как один промежуток полностью содержится в другом, их пересечением будет меньший из них.
• Объединение: объединением будет больший из промежутков.

Ответ: пересечение: $(0; \sqrt{5})$; объединение: $(-\infty; 12)$.

д) Даны промежутки $[-7; 12)$ и $(-7; 12]$.

Первый промежуток включает -7, но не включает 12. Второй промежуток, наоборот, не включает -7, но включает 12.

• Пересечение: общая часть — это все числа, которые строго больше -7 и строго меньше 12.
• Объединение: если собрать все числа из обоих промежутков, мы получим все числа от -7 до 12, включая оба конца.

Ответ: пересечение: $(-7; 12)$; объединение: $[-7; 12]$.

е) Даны промежутки $[0; \sqrt{10}]$ и $(0; \sqrt{10})$.

Промежуток $(0; \sqrt{10})$ (интервал) полностью содержится в промежутке $[0; \sqrt{10}]$ (отрезок), так как отрезок включает в себя концы 0 и $\sqrt{10}$, а интервал — нет.

• Пересечение: так как один промежуток является подмножеством другого, их пересечением будет меньший промежуток (интервал).
• Объединение: объединением будет больший промежуток (отрезок).

Ответ: пересечение: $(0; \sqrt{10})$; объединение: $[0; \sqrt{10}]$.