Номер 1.46, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.46. Примените формулы сокращенного умножения и вычислите:

а) $\sqrt{61^2 - 60^2}$;

б) $\sqrt{8.5^2 - 8.4^2}$;

в) $\sqrt{\left(15\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot 15\frac{1}{4} \cdot 6.25 + 6.25^2}$;

г) $\sqrt{\left(8\frac{1}{7}\right)^2 + 2 \cdot 8\frac{1}{7} \cdot 3\frac{6}{7} + \left(3\frac{6}{7}\right)^2}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt{61^2 - 60^2}$ применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = 61$ и $b = 60$. Подставим значения в формулу:

$\sqrt{61^2 - 60^2} = \sqrt{(61 - 60)(61 + 60)} = \sqrt{1 \cdot 121} = \sqrt{121} = 11$.

Ответ: 11

б) Для вычисления выражения $\sqrt{8,5^2 - 8,4^2}$ также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a = 8,5$ и $b = 8,4$.

$\sqrt{8,5^2 - 8,4^2} = \sqrt{(8,5 - 8,4)(8,5 + 8,4)} = \sqrt{0,1 \cdot 16,9} = \sqrt{1,69}$.

Поскольку $1,3 \cdot 1,3 = 1,69$, корень из $1,69$ равен $1,3$.

Ответ: 1,3

в) Выражение под корнем $\sqrt{(15\frac{1}{4})^2 - 2 \cdot 15\frac{1}{4} \cdot 6,25 + 6,25^2}$ является полным квадратом разности и соответствует формуле: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В этом выражении $a = 15\frac{1}{4}$ и $b = 6,25$.

Для удобства вычислений представим смешанное число $15\frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби: $15\frac{1}{4} = 15 + 0,25 = 15,25$.

Теперь применим формулу, свернув выражение под корнем:

$\sqrt{(15,25 - 6,25)^2}$.

Выполним вычитание в скобках: $15,25 - 6,25 = 9$.

В результате получаем: $\sqrt{9^2} = 9$.

Ответ: 9

г) Выражение под корнем $\sqrt{(8\frac{1}{7})^2 + 2 \cdot 8\frac{1}{7} \cdot 3\frac{6}{7} + (3\frac{6}{7})^2}$ является полным квадратом суммы и соответствует формуле: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Здесь $a = 8\frac{1}{7}$ и $b = 3\frac{6}{7}$.

Применим формулу, свернув выражение:

$\sqrt{(8\frac{1}{7} + 3\frac{6}{7})^2}$.

Сначала сложим смешанные числа в скобках:

$8\frac{1}{7} + 3\frac{6}{7} = (8+3) + (\frac{1}{7} + \frac{6}{7}) = 11 + \frac{7}{7} = 11 + 1 = 12$.

Также можно было перевести смешанные числа в неправильные дроби: $8\frac{1}{7} = \frac{57}{7}$ и $3\frac{6}{7} = \frac{27}{7}$. Их сумма равна $\frac{57}{7} + \frac{27}{7} = \frac{84}{7}$. Выделяя целую часть из этой неправильной дроби, получаем $12$.

Подставим результат сложения в исходное выражение:

$\sqrt{12^2} = 12$.

Ответ: 12