Номер 4.72, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.72. Функция задана формулой $f(x) = |x|$. Найдите значение выражения:

a) $f(-10) - f(10) + f(85)$;

б) $f(\sqrt{3}) - f(-\sqrt{3}) + f(\sqrt{2})$.

Обобщите полученные результаты. Для функции $f(x) = |x|$ найдите $f(a) - f(-a) + f(5)$, где $a$ — любое действительное число.

Дана функция $f(x) = |x|$. По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Таким образом, модуль любого числа является неотрицательной величиной.

• Если $x \ge 0$, то $f(x) = |x| = x$.
• Если $x < 0$, то $f(x) = |x| = -x$.

Ключевым свойством функции $f(x) = |x|$ является её четность. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Проверим это: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.

а) $f(-10) - f(10) + f(85)$;

Сначала найдем значения функции для каждого из аргументов:

• $f(-10) = |-10| = 10$
• $f(10) = |10| = 10$
• $f(85) = |85| = 85$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$f(-10) - f(10) + f(85) = 10 - 10 + 85 = 0 + 85 = 85$.
Ответ: 85.

б) $f(\sqrt{3}) - f(-\sqrt{3}) + f(\sqrt{2})$.

Найдем значения функции для каждого из аргументов:

• $f(\sqrt{3}) = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ (так как $\sqrt{3} > 0$)
• $f(-\sqrt{3}) = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ (так как $-\sqrt{3} < 0$)
• $f(\sqrt{2}) = |\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} > 0$)

Подставим эти значения в исходное выражение:
$f(\sqrt{3}) - f(-\sqrt{3}) + f(\sqrt{2}) = \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

Обобщите полученные результаты. Для функции $f(x) = |x|$ найдите $f(a) - f(-a) + f(5)$, где $a$ — любое действительное число.

Рассмотрим выражение $f(a) - f(-a) + f(5)$.
В пунктах а) и б) мы видели, что разность $f(x) - f(-x)$ или $f(-x) - f(x)$ всегда равна нулю. Это следует из свойства четности функции $f(x) = |x|$, то есть $f(-a) = f(a)$ для любого действительного $a$.
Подставим $f(a)$ вместо $f(-a)$ в выражение:
$f(a) - f(a) + f(5)$.
Упростим полученное выражение:
$f(a) - f(a) + f(5) = 0 + f(5) = f(5)$.
Теперь найдем значение $f(5)$:
$f(5) = |5| = 5$.
Таким образом, значение выражения $f(a) - f(-a) + f(5)$ не зависит от значения $a$ и всегда равно 5.
Ответ: 5.