Номер 4.73, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.73. Постройте графики функций $y = |x|$ и $y = x^2$. Сравните свойства функций $y = |x|$ и $y = x^2$.

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции и опишем их вид.

Функция $y = |x|$ (модуль)

По определению модуля: $y = |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух лучей: $y=x$ (биссектриса I координатной четверти) и $y=-x$ (биссектриса II координатной четверти), которые встречаются в точке $(0,0)$.

Таблица значений для $y = |x|$:

Функция $y = x^2$ (квадратичная)

Графиком данной функции является парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Таблица значений для $y = x^2$:

Ответ: График функции $y=|x|$ — это "угол", состоящий из двух лучей, выходящих из точки $(0,0)$. График функции $y=x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Сравнение свойств функций удобно представить в виде списка общих свойств и различий.

Общие свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ для обеих функций.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$ для обеих функций.
• Нули функции: $y = 0$ при $x=0$ для обеих функций.
• Четность: Обе функции четные, их графики симметричны относительно оси Oy.
• Промежутки монотонности: Обе функции убывают на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастают на промежутке $[0; +\infty)$.
• Точка минимума: Обе функции имеют минимум в точке $x=0$, $y_{min}=0$.
• Непрерывность: Обе функции непрерывны на всей числовой прямой.

Различия:

• Форма графика: График $y=|x|$ состоит из двух прямых (лучей), образующих излом в точке $(0,0)$. График $y=x^2$ является гладкой кривой (парабола).
• Скорость возрастания: При $x > 1$ функция $y=x^2$ возрастает быстрее, чем $y=|x|$. При $x \in (0, 1)$ функция $y=|x|$ лежит выше графика $y=x^2$.
• Дифференцируемость: Функция $y=x^2$ дифференцируема во всех точках, а функция $y=|x|$ не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Ответ: Функции $y=|x|$ и $y=x^2$ имеют много общих свойств (область определения и значений, четность, нули, промежутки монотонности, точка минимума), но различаются формой графика (ломаная линия против гладкой кривой), скоростью роста и наличием производной в точке $x=0$.