Номер 4.74, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.74. В разных системах координат постройте графики функций $y = x$; $y = \sqrt{x^2}$ и $y = (\sqrt{x})^2$. Верно ли, что графики всех этих функций различны?

Для решения задачи проанализируем каждую функцию, определим её область определения и область значений, а затем опишем её график.

Анализ функции $y = x$

Это простейшая линейная функция.

• Область определения $D(y)$: все действительные числа, т.е. $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: все действительные числа, т.е. $y \in (-\infty; +\infty)$.

Графиком является прямая линия, которая проходит через начало координат (0,0) и является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Анализ функции $y = \sqrt{x^2}$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, данную функцию можно переписать в виде $y = |x|$ (модуль числа $x$).

• Область определения $D(y)$: подкоренное выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) при любом действительном $x$. Следовательно, область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y \ge 0$. Область значений — $[0; +\infty)$.

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).

График представляет собой "уголок" (или "галочку") с вершиной в точке (0,0).

Анализ функции $y = (\sqrt{x})^2$

В данной функции сначала необходимо извлечь квадратный корень из $x$, а затем возвести результат в квадрат.

• Область определения $D(y)$: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения — промежуток $[0; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: для всех $x$ из области определения, $(\sqrt{x})^2 = x$. Поскольку $y = x$ и $x \ge 0$, область значений функции также будет неотрицательной: $y \ge 0$, то есть $[0; +\infty)$.

Графиком этой функции является луч, который выходит из начала координат (0,0) и совпадает с биссектрисой I координатной четверти.

Верно ли, что графики всех этих функций различны?

Сравним полученные описания графиков:

1. $y = x$: Прямая, проходящая через I и III координатные четверти.
2. $y = \sqrt{x^2}$: "Уголок", состоящий из двух лучей, расположенных в I и II координатных четвертях.
3. $y = (\sqrt{x})^2$: Луч, расположенный только в I координатной четверти.

Все три графика отличаются друг от друга, так как они определены на разных множествах и имеют разную форму:

• График $y = x$ (прямая) отличается от графика $y = |x|$ ("уголок").
• График $y = x$ (прямая) отличается от графика $y = (\sqrt{x})^2$ (луч).
• График $y = |x|$ ("уголок" из двух лучей) отличается от графика $y = (\sqrt{x})^2$ (один луч).

Следовательно, утверждение о том, что графики всех трех функций различны, является верным.

Ответ: Да, верно.