Номер 4.71, страница 235 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.71. В одной системе координат постройте графики функций и найдите координаты их общих точек:

а) $y = |x|$ и $y = \frac{x}{2} + 3;

б) $y = |x|$ и $y = -\frac{4}{x};

в) $y = |x|$ и $y = x^2 - 2.

Для решения задачи необходимо найти координаты общих точек для каждой пары функций. Это делается путем решения системы уравнений, состоящей из уравнений этих функций. Хотя построение графиков и не является обязательным для нахождения точных координат, оно помогает понять, сколько решений существует и где они примерно находятся.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений: $|x| = \frac{x}{2} + 3$.
Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x \ge 0$, уравнение принимает вид $x = \frac{x}{2} + 3$.
   $x - \frac{x}{2} = 3$
   $\frac{x}{2} = 3$
   $x = 6$.
   Корень $x=6$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Найдем соответствующую ординату: $y = |6| = 6$.
   Первая точка пересечения: $(6, 6)$.
2. При $x < 0$, уравнение принимает вид $-x = \frac{x}{2} + 3$.
   $-x - \frac{x}{2} = 3$
   $-\frac{3x}{2} = 3$
   $x = -2$.
   Корень $x=-2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Найдем соответствующую ординату: $y = |-2| = 2$.
   Вторая точка пересечения: $(-2, 2)$.

Ответ: (6, 6) и (-2, 2).

Приравняем правые части уравнений: $|x| = -\frac{4}{x}$. Область определения функции $y = -\frac{4}{x}$ требует, чтобы $x \neq 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, уравнение принимает вид $x = -\frac{4}{x}$.
   $x^2 = -4$.
   Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, при $x>0$ графики не пересекаются.
2. При $x < 0$, уравнение принимает вид $-x = -\frac{4}{x}$.
   $x = \frac{4}{x}$
   $x^2 = 4$
   $x = \pm 2$.
   Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x=-2$. Найдем соответствующую ординату: $y = |-2| = 2$.
   Единственная точка пересечения: $(-2, 2)$.

Ответ: (-2, 2).

Приравняем правые части уравнений: $|x| = x^2 - 2$.
Обе функции, $y = |x|$ и $y = x^2 - 2$, являются четными, так как $f(-x)=f(x)$, поэтому их графики симметричны относительно оси OY. Это означает, что если $(x_0, y_0)$ - точка пересечения, то и $(-x_0, y_0)$ - тоже точка пересечения. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x \ge 0$, уравнение принимает вид $x = x^2 - 2$.
   $x^2 - x - 2 = 0$.
   Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
   Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x=2$. Найдем соответствующую ординату: $y = |2| = 2$.
   Первая точка пересечения: $(2, 2)$.
2. В силу симметрии, если есть точка пересечения $(2, 2)$, то должна быть и точка $(-2, 2)$. Можно также проверить это, решив уравнение для $x < 0$, где $|x| = -x$:
   $-x = x^2 - 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$.
   Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
   Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x=-2$. Найдем $y = |-2| = 2$.
   Вторая точка пересечения: $(-2, 2)$.

Ответ: (2, 2) и (-2, 2).