Номер 70, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

70. Выберите верные равенства: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{2a}$; $\sqrt{2} + \sqrt{a} = \sqrt{2+a}$; $\sqrt{2} - \sqrt{a} = \sqrt{2-a}$; $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{2}{a}}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{2a}$
Данное равенство является верным. Оно следует из свойства произведения квадратных корней: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. Это свойство справедливо для любых неотрицательных чисел $x$ и $y$. В данном случае, $x=2$ и $y=a$. Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $a \ge 0$. При этом условии равенство выполняется.
Ответ: Верно.

$\sqrt{2} + \sqrt{a} = \sqrt{2+a}$
Данное равенство является неверным в общем случае. Квадратный корень из суммы не равен сумме квадратных корней. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить вместо $a$ любое положительное число. Например, пусть $a=2$:
Левая часть: $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Правая часть: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.
Так как $2\sqrt{2} \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: Неверно.

$\sqrt{2} - \sqrt{a} = \sqrt{2-a}$
Данное равенство также является неверным в общем случае. Квадратный корень из разности не равен разности квадратных корней. Приведем контрпример. Пусть $a=1$ (при этом значения под обоими корнями неотрицательны):
Левая часть: $\sqrt{2} - \sqrt{1} = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$.
Правая часть: $\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.
Так как $\sqrt{2} - 1 \neq 1$, равенство неверно.
Ответ: Неверно.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{2}{a}}$
Данное равенство является верным. Оно следует из свойства частного квадратных корней: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Это свойство справедливо для любого неотрицательного числа $x$ и любого положительного числа $y$. В данном случае $x=2$ и $y=a$. Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $a > 0$ (так как на ноль делить нельзя). При этом условии равенство выполняется.
Ответ: Верно.